Seja λ um escalar. Considere o operador diferencial D - λ I : C ∞ R → C ∞ ( R ) , dado por D - λ I f = f ' - λ f ,p a r at o d o → f ∈ C ∞ ( R ) a) Mostre que o núcleo de D - λ I tem dimensão 1. (Sugestão: Mostre que { e λ t } é uma base para o núcleo de D - λ I que é a solução da equação diferencial y ' - λ y = 0 . b) Mostre que D - λ I e sobrejetivo. (Sugestão: Mostre que a equação diferencial y ' - λ y = f tem solução para todo f ∈ C ∞ ( R ) . Sejam w t = f t e λ teW t = ∫ 0 t w s d s , mostre que y t = W t e λ t e solução.

a) y t = α e a t b) y t = W t e λ t

Enunciado

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão seja um escalar. Considere o operador diferencial , dado por

a) Mostre que o núcleo de tem dimensão 1. (Sugestão: Mostre que é uma base para o núcleo de que é a solução da equação diferencial .

b) Mostre que e sobrejetivo. (Sugestão: Mostre que a equação diferencial tem solução para todo . Sejam , mostre que e solução.

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Dado o operador diferencial,

Para,

Temos que na letra (a) para mostrar o núcleo de , temos que

para ,

Ficando,

Na letra (b) para mostrar que é sobrejetivo temos,

, , ficando

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.