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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 25

Seja λ um escalar. Considere o operador diferencial D - λ I : C ∞ R → C ∞ ( R ) , dado por

D - λ I f = f ' - λ f ,   p a r a   t o d o → f ∈ C ∞ ( R )

a) Mostre que o núcleo de D - λ I tem dimensão 1. (Sugestão: Mostre que { e λ t } é uma base para o núcleo de D - λ I que é a solução da equação diferencial y ' - λ y = 0 .

b) Mostre que D - λ I e sobrejetivo. (Sugestão: Mostre que a equação diferencial y ' - λ y = f tem solução para todo f ∈ C ∞ ( R ) . Sejam w t = f t e λ t   e   W t = ∫ 0 t w s d s , mostre que y t = W t e λ t e solução.

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão seja λ um escalar. Considere o operador diferencial D - λ I : C ∞ R → C ∞ ( R ) , dado por

D - λ I f = f ' - λ f ,   p a r a   t o d o → f ∈ C ∞ ( R )

a) Mostre que o núcleo de D - λ I tem dimensão 1. (Sugestão: Mostre que { e λ t } é uma base para o núcleo de D - λ I que é a solução da equação diferencial y ' - λ y = 0 .

b) Mostre que D - λ I e sobrejetivo. (Sugestão: Mostre que a equação diferencial y ' - λ y = f tem solução para todo f ∈ C ∞ ( R ) . Sejam w t = f t e λ t   e   W t = ∫ 0 t w s d s , mostre que y t = W t e λ t e solução.

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Dado o operador diferencial,

D - λ I : C ∞ R → C ∞ ( R )

Para,

D - λ I f = f ' - λ f ,   p a r a   t o d o → f ∈ C ∞ ( R )

Temos que na letra (a) para mostrar o núcleo de D - λ I , temos que

y ' t = a y t , para a ∈ R , a ≠ 0

y ' ( t ) y ( t ) = a

Ficando,

y t = α e a t

Na letra (b) para mostrar que D - λ I é sobrejetivo temos,

f ∈ C ∞ ( R ) , w t = f t e - λ t , ficando

y t = W t e λ t

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) y t = α e a t

b) y t = W t e λ t

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