Dê um exemplo de uma transformação linear T : R 2 → R 2 tal que N ( T ) = I ( T ) .

Passo 1

E aí, gente? Vamos trabalhar com um exemplo em R 2 para ser mais simples. Nesse caso, precisamos de dois vetores de base { V 1 , V 2 } . Agora, vamos refletir no que N ( T ) = I ( T ) quer dizer.

O núcleo da transformação é o conjunto dos vetores que são levados ao vetor nulo quando aplicamos a transformação. Vamos dizer que V 1 forma o núcleo da transformação. Assim, temos que ter T ( V 1 ) = 0 ̄ . Por outro lado, este vetor também tem que gerar a imagem. Isso quer dizer que quando aplicamos a transformação ao vetor V 2 , temos que obter V 1 : T ( V 2 ) = V 1 .

Passo 2

Podemos escolher { V 1 , V 2 } como sendo a base canônica, ou seja, { ( 1,0 ) , ( 0,1 ) } . Assim, temos que ter T ( 1,0 ) = ( 0,0 ) e T ( 0,1 ) = ( 1,0 ) . Ou seja, o vetor ( 1,0 ) gera o núcleo e a imagem ao mesmo tempo.

Resposta

Veja a resolução acima.

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