Enunciado

Dê um exemplo de uma transformação linear T : R 2 → R 2 tal que N ( T ) = I ( T ) .

Passo 1

E aí, gente? Vamos trabalhar com um exemplo em R 2 para ser mais simples. Nesse caso, precisamos de dois vetores de base { V 1 , V 2 } . Agora, vamos refletir no que N ( T ) = I ( T ) quer dizer.

O núcleo da transformação é o conjunto dos vetores que são levados ao vetor nulo quando aplicamos a transformação. Vamos dizer que V 1 forma o núcleo da transformação. Assim, temos que ter T ( V 1 ) = 0 ̄ . Por outro lado, este vetor também tem que gerar a imagem. Isso quer dizer que quando aplicamos a transformação ao vetor V 2 , temos que obter V 1 : T ( V 2 ) = V 1 .

Passo 2

Podemos escolher { V 1 , V 2 } como sendo a base canônica, ou seja, { ( 1,0 ) , ( 0,1 ) } . Assim, temos que ter T ( 1,0 ) = ( 0,0 ) e T ( 0,1 ) = ( 1,0 ) . Ou seja, o vetor ( 1,0 ) gera o núcleo e a imagem ao mesmo tempo.

Resposta

Veja a resolução acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que os vetores em R 3 sejam denotados por matrizes 1×3 e defina T:R 3→R 3 por: x 1 x 2 x 3 =x 1 x 2 x 3 ⋅ - 1 2 4 3 0 1 2 2 5 Encontre uma base para o núcleo de T .Encontre uma base para a ima
Sejam B={ v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 } uma base de um espaço vetorial V e T:V→V o operador linear dado por T v 1 = v 1 + v 2 + v 3 + 3 v 4 T v 2 = v 1 - v 2 + 2 v 3 + 2 v 4 T v 3 = 2 v 1 - 4 v 2 + 5 v 3 + 3 v
Seja T : V → R 3 uma transformação linear de um espaço vetorial qualquer em R 3 . Dê uma descrição geométrica de I m ( T )
Seja D : P 3 → P 2 a transformação de derivação D p → = p ' x . Descreva o núcleo de D
Sejam { v 1 → , … ,v n → } uma base de um espaço vetorial V e T : V → W uma transformação linear. Mostre que se T v 1 → = … = T v n → = 0 → Então T é a transformação nula.