Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 12
Mostre que não é diagonalizável. No entanto, se representar, numa certa base, um operador linear , onde é um espaço vetorial complexo, então é diagonalizável. Verifique este fato ou, equivalentemente, que existe uma matriz com elementos complexos , inversível, tal que
Passo 1
Bom, a primeira coisa que temos que fazer numa questão sobre diagonalização é investigar o polinômio característico. Veja:
Passo 2
Analisando as raízes desse polinômio, vemos que são:
Mas se é um espaço vetorial real, os autovalores não possuem sentido, do que é impossível conseguir uma base de autovetores.
Passo 3
Vamos supor então que é um espaço complexo. Nossa missão é encontrar os autovetores relacionados a esses autovalores e mostrar que eles são LI, o que verifica o que o enunciado propõe.
Para isso, vamos ao procedimento padrão:
Para :
Do que temos:
Disso, temos que .
Que corresponde aos autovetores:
Para :
Que implica em:
Multiplicando a segunda equação por , temos:
Que é idêntica à primeira. Disso, temos:
E os autovetores são:
Para :
Que implica em:
Multiplicando a segunda por :
Que é idêntica à primeira, do que podemos escrever:
E os autovetores são:
Passo 4
No passo anterior mostramos que existe uma base para , espaço complexo, composta de autovetores de , ou seja, é diagonalizável e podemos garantir a existência de tal que:
Resposta
Demonstração.