Mostre que se V é ortogonal a W 1 e W 2 , então V é ortogonal a α 1 W 1 e a α 2 W 2 .

Passo 1

Primeiro, devemos lembrar que dois vetores são ortogonais caso o ângulo entre eles seja reto, ou seja, igual a 90°.

Passo 2

Ainda, a multiplicação de um vetor por um escalar α 1 ou α 2 altera apenas o comprimento do vetor, e não sua direção. Dessa forma, os ângulos entre V e W 1 e V e α 1 W 1 são iguais.

cos ⁡ θ =   V ∙ W 1 V W 1  

Enquanto isso:

cos ⁡ θ =   V ∙ ( α 1 W 1 ) V α 1 W 1 =   α 1 ( V ∙ W 1 ) V | α 1 | W 1 = α 1 ( V ∙ W 1 ) | α 1 | V W 1

A divisão α 1 | α 1 | pode resultar em um número positivo ou negativo, a depender do escalar ser maior ou menor que 0, no entanto, lembrando da propriedade:

arccos(x) = arccos(-x)

cos ⁡ θ =   V ∙ W 1 V W 1   =   α 1 ( V ∙ W 1 ) | α 1 | V W 1

Passo 3

O mesmo raciocínio vale para V e α 2 W 2 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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