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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 2

a) Mostre que X = ( x , y ) é ortogonal a V = a , b ≠ 0 com X = | | V | | se, e somente se, X = - b , a   o u   X = ( b , - a .

(b) Mostre que se A e uma matriz ortogonal 2   x   2 , então existe um número real θ tal que

A = cos ⁡ θ - sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ       o u       A = cos ⁡ θ sin ⁡ θ sin ⁡ θ - cos ⁡ θ

A primeira matriz tem determinante igual a 1 e é chamada matriz de rotação.

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa devemos solucionar as opções dadas:

a) Mostre que X = ( x , y ) é ortogonal a V = a , b ≠ 0 com X = | | V | | se, e somente se, X = - b , a   o u   X = ( b , - a .

(b) Mostre que se A e uma matriz ortogonal 2   x   2 , então existe um número real θ tal que

A = cos ⁡ θ - sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ       o u       A = cos ⁡ θ sin ⁡ θ sin ⁡ θ - cos ⁡ θ

A primeira matriz tem determinante igual a 1 e é chamada matriz de rotação.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Na letra (a) sabendo que,

X = ( x , y ) é ortogonal tendo,

V = a , b ≠ 0

Com isso temos,

T V = | | T * ( V ) | |

Ficando,

( - b , a ) = | | ( b , - a ) | |

Na letra (b) sabendo que,

A = cos ⁡ θ - sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ       o u       A = cos ⁡ θ sin ⁡ θ sin ⁡ θ - cos ⁡ θ

Temos,

a i j 2 x 2   = cos ⁡ θ - sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ≠ 0

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a i j 2 x 2   = cos ⁡ θ - sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ≠ 0

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