Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 70
Engenheiros projetam um sistema por meio do qual uma massa m em queda livre imprime energia cinética a um tambor uniforme em rotação, ao qual a massa está presa por um cabo delgado e leve, enrolado em volta do tambor (Figura 9.34). Não há nenhum atrito significativo no eixo do tambor e tudo parte do repouso. Esse sistema está sendo testado na Terra, mas é para ser usado em Marte, onde a aceleração da gravidade é . Nos testes na Terra, quando m possui 15,0 kg e deve cair por 5,0 m, ela fornece 250,0 J de energia cinética ao tambor. a) Quando o sistema for operado em Marte, qual distância a massa de 15,0 kg terá que cair para gerar o mesmo valor de energia cinética para o tambor? b) Qual a velocidade da massa de 15,0 kg em Marte quando o tambor obtiver 250,0 J de energia cinética?
Passo 1
Aqui, o que temos que fazer é aplicar a conservação de energia ao sistema e depois comparar os resultados para Terra e para Marte.
A energia cinética do tambor é dada por:
E a energia cinética da massa pendurada é dada por:
Mas sabemos que , então, se é o mesmo, é o mesmo e é o mesmo em ambos os planetas. Senso assim, é a mesma.
Tomando como na altura inicial da massa e para cima.
Vamos dividir a situação em duas configurações:
Então,
E
onde é a altura em que a massa desce.
Passo 2
- Pela conservação de energia, temos que:
- Para sabermos a velocidade da massa em marte, fazemos a seguinte conservação de energia:
Nós só temos energia potencial quando em 2, quando está elevado do chão.
Assim temos que: .
Portanto, ficamos com:
Mas são iguais nos dois planetas, então:
Isso implica em:
Passo 3
Note que, fizemos os cálculos sem saber o momento de inércia do tambor, ou a massa e o raio do tambor.