Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 4.1 - Ex. 16
(a) Mostre que os planos e se interceptam segundo uma reta r;
(b) Ache equações da reta que passa pelo ponto A = (1, 0, 1) e intercepta a reta r ortogonalmente.
Passo 1
Olá, tudo joia? Bora começar!
- Vamos analisar os vetores normais desses planos:
- Precisamos determinar a reta . Para isso, vamos resolver o sistema:
Esses vetores não são múltiplos, então esses planos não são paralelos nem coincidentes. Logo, eles se interceptam por uma reta.
Podemos ver isso também através do produto vetorial:
A interseção dos planos é uma reta que tem como vetor diretor.
Passo 2
Escalonando a matriz:
Trocando as linhas:
Reescrevemos então como:
Chamando , temos a equação da reta :
Passo 2
Então, um ponto genérico de pode ser escrito como:
(multiplicamos o vetor por 5 para eliminar a fração)
Vamos então encontrar de modo que seja perpendicular ao vetor diretor de :
Para ser ortogonal, o produto interno deles tem que ser igual a zero. Vamos lá então...
Passo 3
Fazendo o produto interno dos vetores:
Substituindo esse valor em encontramos:
Esse é o vetor diretor da reta procurada. A reta que passa pelo ponto A e tem essa reta como vetor diretor é:
Ufa! Acabamos!
