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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 3.Testes do Capítulo - Ex. 1

Mostre que os pontos A = (4, 0, 1), B = (5, 1, 3), C = (3, 2, 5), D = (2, 1, 3) são vértices de um paralelogramo. Calcule a sua área.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de geometria analítica.

Para responder ao questionamento do enunciado, devemos demonstrar que temos lados congruentes tomados dois a dois, ou seja, lados que possuem medidas iguais:

A B ≡ D C   e   B C   ≡ A D

Determinando os vetores teremos:

A B = B - A = 5 ,   1 ,   3 - 4 ,   0 ,   1 = 1 ,   1 ,   2

D C = C - D = 3 ,   2 ,   5 - 2 ,   1 ,   3 = 1 ,   1 ,   2

As medidas são expressas pelos módulos dos vetores:

B - A = 1 2 + 1 2 + 2 2 = 6

C - D = 1 2 + 1 2 + 2 2 = 6

Logo, provamos que A B ≡ D C .

Para os outros dois lados temos:

B C = C - B = 3 ,   2 ,   5 - 5 ,   1 ,   3 = - 2 ,   1 ,   2

A D = D - A = 2 ,   1 ,   3 - ( 4 ,   0 ,   1 ) = - 2 ,   1 ,   2

As medidas são expressas pelos módulos dos vetores:

C - B = ( - 2 ) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 = 3

D - A = ( - 2 ) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 = 3

Logo, provamos que B C ≡ A D .

E dessa forma temos que os pontos dados são vértices de um paralelogramo.

Passo 2

A área do paralelogramo é dada pelo módulo do produto vetorial entre dois segmentos não congruentes da figura, ou seja:

A = A B × B C

A B × B C = i j k 1 1 2 - 2 1 2 = 2 i - 4 j + k + 2 k - 2 j - 2 i = - 6 j + 3 k   o u   ( 0 ,   - 6 ,   3 )

O módulo é calculado por:

0 2 + - 6 2 + 3 2 = 36 + 9 = 45 = 3 5

Logo, a área do paralelogramo é de:

3 5   u n i d a d e s   d e   á r e a

Resposta

3 5 .

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