Mostre que se os produtos A B e B A estiverem ambos definidos, então A B e B A são matrizes quadradas.

Passo 1

Para denotarmos esse produto, vamos tomar duas matrizes A e B tendo as dimensões respectivas:

A B m A × n A m B × n B

E testarmos as condições para que os produtos estejam definidos.

Passo 2

  • Se A B é definido:
  • n A = m B = u

  • Se B A é definido:

n B = m A = v

Portanto:

A B v × u u × v

Passo 3

Agora, se observamos o produto A B , temos que sua dimensão é v × v . Definindo uma matriz quadrada.

Se observamos o produto B A , temos que sua dimensão é u × u . Definindo uma matriz quadrada.

Resposta

Pela definição do produto entre matrizes, temos que A B e B A são matrizes quadradas.

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