Encontre um resultado análogo de “Mostre que se A   tem um alinha de zeros e   B   é uma matriz qualquer para a qual o produto   A B   está definido, então   A B   também tem uma linha de zeros” para uma coluna de zeros

Passo 1

Primeiramente, vamos expressar as matrizes A e B como matrizes quaisquer de dimensões n × n sendo que a primeira linha de A possui apenas entradas nulas. Assim:

A = 0 a 11 0 a 22 0 a 32 ⋯ a 1 n a 2 n a 3 n ⋮ ⋱ ⋮ 0 a n 2 ⋯ a n n e B = b 11 b 12 b 13 ⋯ b 1 n ⋮ ⋱ ⋮ b n 1 b n 2 b n 3 ⋯ b n n

Passo 2

Se realizarmos o produto matricial A B , veremos que resultará numa matriz n × n de forma:

A B = 0 . b 11 + a 11 . b 21 + … + a 1 n b n 1 0 . b 11 + a 11 . b 21 + … + a 1 n b n 1 0 . b 11 + a 11 . b 21 + … + a 1 n b n 1 ⋯ * * * ⋮ ⋱ ⋮ 0 . b 11 + a 11 . b 21 + … + a 1 n b n 1 ⋯ *

A B * * * * * * ⋯ * * * ⋮ ⋱ ⋮ * * ⋯ *

Sendo cada * uma entrada real. Logo, teremos uma matriz com ao menos uma linha de zeros.

Teremos uma matriz não necessariamente possui uma coluna de zeros.

Passo 3

Mas, se a matriz B possuir uma coluna de zeros, teremos:

B = 0 b 11 0 b 22 0 b 32 ⋯ b 1 n b 2 n b 3 n ⋮ ⋱ ⋮ 0 b n 2 ⋯ b n n e A = a 11 a 12 a 13 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 a n 3 ⋯ a n n

A B = a 11 . 0 + a 1 2 . 0 + … + a 1 n . 0 a 2 1 . 0 + a 2 2 . 0 + … + a 2 n . 0 a 3 1 . 0 + a 32 . 0 + … + a 3 n . 0 ⋯ * * * ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 . 0 + a n 2 . 0 + … + a n n . 0 ⋯ *

A B = 0 * 0 * 0 * ⋯ * * * ⋮ ⋱ ⋮ 0 * ⋯ *

Sendo cada * uma entrada real. Logo, teremos uma matriz com ao menos uma linha de zeros.

Resposta

Vide a demonstração, temos que, se A possuir uma coluna de zeros, não necessariamente a matriz produto A B terá uma coluna de zeros. Mas, se houver uma coluna de zeros em B , teremos uma matriz A B com ao menos uma coluna de zeros.

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