Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 35a

Mostre que

a) (alpha U_1 + beta U_2) * (V xx W) = alpha U_1 * (V xx W) + beta U_2 * ( V xx W ) ;

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Para esta questão é conveniente lembrarmos de como se calcula o produtor vetorial através do determinante:

V xx W = [[[hat i,hat j,hat k],[v_1,v_2,v_3],[w_1,w_2,w_3]]] = (v_2 w_3 - v_3 w_2) hat i + (v_3 w_1 - v_1 w_3) hat j + (v_1 w_2 - v_2 w_1) hat k

E também que o produto escalar entre dois vetores é dado da forma:

X * Y = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3

Vamos expandir a igualdade e mostrar que ela é válida!

Passo 2

Se temos um vetor alpha U_1 = ( alpha u_11 , alpha u_12 , alpha u_13 ) e um vetor beta U_2 = ( beta u_21 , beta u_22 , beta u_23 ) , podemos formar o vetor:

alpha U_1 + beta U_2 = ( alpha u_11 + beta u_21 , alpha u_12 + beta u_22 , alpha u_12 + beta u_23 )

Portanto, temos que

(alpha U_1 + beta U_2) * (V xx W) = (alpha u_11 + beta u_21) (v_2 w_3 - v_3 w_2) + ->

-> + (alpha u_12 + beta u_22) (v_3 w_1 - v_1 w_3) + ->

-> + ( alpha u_12 + beta u_23 ) (v_1 w_2 - v_2 w_1)

Vamos expandir o lado direito da expressão!

Passo 3

Temos que:

alpha U_1 * (V xx W) = alpha u_11 (v_2 w_3 - v_3 w_2) + alpha u_12 (v_3 w_1 - v_1 w_3) + alpha u_13 (v_1 w_2 - v_2 w_1)

E também que

beta U_2 * (V xx W) = beta u_2 1 (v_2 w_3 - v_3 w_2) + beta u_2 2 (v_3 w_1 - v_1 w_3) + beta u_2 3 (v_1 w_2 - v_2 w_1)

Escrevendo então o vetor alpha U_1 * (V xx W) + beta U_2 * ( V xx W ) , obtemos:

alpha U_1 * (V xx W) + beta U_2 * ( V xx W ) = (alpha u_11 + beta u_21) (v_2 w_3 - v_3 w_2) + ->

-> + (alpha u_12 + beta u_22) (v_3 w_1 - v_1 w_3) + ->

-> + ( alpha u_12 + beta u_23 ) (v_1 w_2 - v_2 w_1)

Colocando os termos do produto vetorial em evidência! Isso mostra o que queríamos para esta alternativa! Bora para a próxima!

Resposta

Ao longo dos passos!

Exercícios de Livros Relacionados

4. Sabendo que (u , w , x) = 2 e (v , w , x) = 5 , calculara) (u , x , - w) b) (3 u , 3 w , - 2 x) c) (2 u + 4 v , w , x) d) (5 u - 3 v , 2 w , x)
Determinar m e n para que se tenhac) (m , n , 2) * [(3,1 , 2) xx (0,1 , - 1)] = 9
Determine x para que A = (x, 1, 2), B = (2, −2, −3), C = (5, −1, 1) e D = (3, −2, −2) sejam coplanares.
O vetor u → é ortogonal aos vetores v →ew → e o ângulo desses últimos é θ = 30 ° . Sendo u → = 2 v → = 2 w → = 6 , calcule [ u → ,v → ,w → ] , sabendo que u → ,v → ,w → é uma base de orientação positi
Os vetores u → ,v →ew → são dois a dois ortogonais e formam uma base positiva. Sabendo que u → = 2 ,v → = 3ew → = 4 , calcule u → ,v → ,w → .