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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 35c

Mostre que

c) U * [V xx (alpha W_1 + beta W_2)] = alpha U * (V xx W_1) + beta U * (V xx W_2) ;

Passo 1

Para esta alternativa ainda vamos usar que:

V xx W = [[[hat i,hat j,hat k],[v_1,v_2,v_3],[w_1,w_2,w_3]]] = (v_2 w_3 - v_3 w_2) hat i + (v_3 w_1 - v_1 w_3) hat j + (v_1 w_2 - v_2 w_1) hat k

E como temos agora dois vetores V_1 = ( v_11 , v_12 , v_13 ) e V_2 = ( v_21 , v_22 , v_23 ) , temos os seguintes produtos que serão utilizados:

V xx W_1 = [[[hat i,hat j,hat k],[v_1,v_2,v_3],[w_1 1,w_1 2,w_1 3]]] = (v_1 w_1 3 - v_3 w_1 2) hat i + (v_3 w_1 1 - v_1 w_1 3) hat j + (v_1 w_1 2 - v_2 w_1 1) hat k

E também que

V xx W_2 = [[[hat i,hat j,hat k],[v_1,v_2,v_3],[w_2 1,w_2 2,w_2 3]]] = (v_2 w_2 3 - v_3 w_2 2) hat i + (v_3 w_2 1 - v_1 w_2 3) hat j + (v_1 w_2 2 - v_2 w_2 1) hat k

Vamos utilizar também o vetor U = ( u_1 , u_2 , u_3 ) para expandir os termos em ambos os lados da igualdade! Vamos lá!

Passo 2

A primeira coisa que podemos fazer é escrever o vetor:

alpha W_1 + beta W_2 = ( alpha w_11 + beta w_21 , alpha w_12 + beta w_22 , alpha w_13 + beta w_23 )

De forma que obtemos o seguinte produto vetorial:

V xx (alpha W_1 + beta W_2) = [[[hat i,hat j,hat k],[v_1,v_2,v_3],[alpha w_1 1,+,beta,w_21,alpha w_1 2,+,beta,w_22,alpha,w_1 3,+,beta,w_23]]] = ->

-> = [v_2 ( alpha w_13 + beta w_23 ) - v_3 ( alpha w_13 + beta w_23 )] hat i + [v_3 ( alpha w_13 + beta w_23 ) - v_1 ( alpha w_13 + beta w_23 )] hat j + ->

-> + [ v_1 ( alpha w_13 + beta w_23 ) - v_2 ( alpha w_13 + beta w_23 ) ] hat k

Realizando o produto interno com U , temos que o lado esquerdo da igualdade toma a forma:

U * [V xx (alpha W_1 + beta W_2)] = ->

u_1 [v_2 ( alpha w_13 + beta w_23 ) - v_3 ( alpha w_13 + beta w_23 )] + u_2 [v_3 ( alpha w_13 + beta w_23 ) - v_1 ( alpha w_13 + beta w_23 )] + ->

-> + u_3 [ v_1 ( alpha w_13 + beta w_23 ) - v_2 ( alpha w_13 + beta w_23 ) ]

Vamos para o lado direito agora!

Passo 3

Temos que:

alpha U * (V xx W_1) = alpha u_1 (v_1 w_13 - v_3 w_12) + alpha u_2 (v_3 w_11 - v_1 w_13) + alpha u_3 (v_1 w_12 - v_2 w_11)

E também que:

beta U * (V xx W_2) = beta u_1 (v_2 w_23 - v_3 w_22) + beta u_2 (v_3 w_21 - v_1 w_23) + beta u_3 (v_1 w_22 - v_2 w_21)

Somando ambas as expressões, e evidenciando os componentes de U , e utilizando a propriedade distributiva para as constantes alpha e beta (chuveirinho), e evidenciando os componentes de W . É possível identificar que:

alpha U * (V xx W_1) + beta U * (V xx W_2) = ->

-> u_1 [v_2 ( alpha w_13 + beta w_23 ) - v_3 ( alpha w_13 + beta w_23 )] + u_2 [v_3 ( alpha w_13 + beta w_23 ) - v_1 ( alpha w_13 + beta w_23 )] + ->

-> + u_3 [ v_1 ( alpha w_13 + beta w_23 ) - v_2 ( alpha w_13 + beta w_23 ) ]

Essa alternativa foi! Agora é a última!

Resposta

Ao longo dos passos!

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