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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 5.Exercícios Propostos - Ex. 15

Sejam A , B e C pontos não alinhados. Prove que a distância d do ponto P ao plano π de A , B e C é dada por: d   = | [ A B → ,   A C → ,   A P → ] | | A B →   ∧   A C → | .

Passo 1

Galera, vamos imaginar que os vetores A B → ,   A C → estão contidos na base de um paralelepípedo, de área

A = | A B →   ∧   A C → |

e que a altura desse paralelepípedo seja dada por | A P → | c o s θ onde θ é o ângulo entre A P → e a normal ao plano. É importante a gente notar que a distância perpendicular do ponto P ao plano não é dado por | A P → | e sim pela altura do paralelepípedo | A P → | c o s θ .

O volume do paralelepípedo é dado por

V = | [ A B →   ,   A C → , A P ] | = | ( A B →   ∧   A C → ) ⋅ A P | → = | A B →   ∧   A C | →   | A P → | c o s θ →

Por outro lado, o volume do paralelepípedo é dado por área da base vezes a altura. Com isso, vemos que a altura do paralelepípedo é dada por

d = h = V A = | A B →   ∧   A C | →   | A P → | c o s θ | A B →   ∧   A C → | = | A P → | c o s θ

exatamente como queríamos mostrar.

Resposta

Veja a resolução acima.

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