No tetraedro , temos: , e , é o ponto médio de , é o ponto médio de e é o ponto médio de . Qual é a relação entre o número e o volume do tetraedro?
Passo 1
Fala, pessoal, vamos começar essa questão identificando os vetores . Como são pontos médios, então temos
Agora, podemos obter :
Passo 2
Tranquilo até agora? Beleza, então vamos calcular o produto misto
Temos
onde usamos . Então, ficamos com
onde fizemos na penúltima igualdade porque o produto misto de vetores repetidos é sempre nulo e usamos a propriedade de produto misto na última igualdade. Assim, temos
Vamos reservar esse resultado por enquanto.
Passo 3
O volume do tetraedro é dado por