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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 5.Exercícios Propostos - Ex. 8

No tetraedro O A B C , temos: O A →   = a → , O B →   = b → e O C →   = c → , M é o ponto médio de A C → , N é o ponto médio de A B → e P é o ponto médio de B C → . Qual é a relação entre o número [ O M , → O N → , O P → ] e o volume do tetraedro?

Passo 1

Fala, pessoal, vamos começar essa questão identificando os vetores O M , → O N → , O P → . Como M , N , P são pontos médios, então temos

A M → = 1 2 A C → = 1 2 ( A O → + O C → ) = 1 2 ( - O A → + O C → ) = 1 2 ( - a → + c → )

A N → = 1 2 A B → = 1 2 ( A O → + O B → ) = 1 2 ( - O A → + O B → ) = 1 2 ( - a → + b → )

B P → = 1 2 B C → = 1 2 ( B O → + O C → ) = 1 2 ( - O B → + O C → ) = 1 2 ( - b → + c → )

Agora, podemos obter O M , → O N → , O P → :

O M → = O A → + A M → = a → + 1 2 ( - a → + c → ) = 1 2 ( a → + c → )

O N → = O A → + A N → = a → + 1 2 ( - a → + b → ) = 1 2 ( a → + b → )

O P → = O B → + B P → = b → + 1 2 ( - b → + c → ) = 1 2 ( b → + c → )

Passo 2

Tranquilo até agora? Beleza, então vamos calcular o produto misto

[ O M , → O N → , O P → ] = ( O M → ∧ O N → ) ⋅ O P →

Temos

O M → ∧ O N → = 1 2 ( a → + c → ) ∧ 1 2 ( a → + b → ) = 1 4 [ a → ∧ a → + a → ∧ b → + c → ∧ a → + c → ∧ b → ]

O M → ∧ O N → = 1 4 [ a → ∧ b → + c → ∧ a → + c → ∧ b → ]

onde usamos a → ∧ a → = 0 → . Então, ficamos com

[ O M , → O N → , O P → ] = ( O M → ∧ O N → ) ⋅ O P → = 1 8 [ a → ∧ b → + c → ∧ a → + c → ∧ b → ] ⋅ ( b → + c → )

[ O M , → O N → , O P → ] = 1 8 { [ a → , b → , b → ] + [ a → , b → , c → ] + [ c → , a → , b → ] + [ c → , a → , c → ] + [ c → , b → , b → ] + [ c → , b → , c → ] }

[ O M , → O N → , O P → ] = 1 8 { [ a → , b → , c → ] + [ c → , a → , b → ] } = 1 4 [ a → , b → , c → ]

onde fizemos [ a → , b → , b → ] = [ c → , a → , c → ] = [ c → , b → , b → ] = [ c → , b → , c → ] = 0 na penúltima igualdade porque o produto misto de vetores repetidos é sempre nulo e usamos a propriedade de produto misto [ c → , a → , b → ] = [ a → , b → , c → ] na última igualdade. Assim, temos

[ a → , b → , c → ] = 4 [ O M , → O N → , O P → ]

Vamos reservar esse resultado por enquanto.

Passo 3

O volume do tetraedro é dado por

V = 1 6 | [ O A , → O B → , O C → ] | = 1 6 | [ ( O A → ∧ O B → ) ⋅ O C → ] | = 1 6 | ( a → ∧ b → ) ⋅ c → | = 1 6 | [ a → , b → , c → ] | = 4 6 | [ O M , → O N → , O P → ] |

V = 2 3 | [ O M , → O N → , O P → ] |

⇒ | [ O M , → O N → , O P → ] | = 3 2 V

Resposta

[ O M , → O N → , O P → ] = 3 2 V

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