Mostre que as retas r e s determinam um plano π e obtenha uma equação geral de π .

a) r : x - 1 = y = 2 z                                                       s : x - 1 = y = z

b) r : x - 1 2 = y - 3 3 = z 4                                                           s : x 2 = y 3 = z - 4 4

Passo 1

a) O vetor diretor de r é 1 ,   1 , 1 2 enquanto o de s é ( 1 ,   1 ,   1 ) , ou seja, são LI.

Logo, podem ser vetores diretores do plano π .

Para encontrarmos a equação geral do plano, precisamos do seu vetor normal, que é o produto vetorial dos seus vetores diretores:

1 ,   1 , 1 2 ∧ 1 ,   1 ,   1 = 1 2 ,   - 1 2 ,   0

Então, a equação do plano é

1 2 x - 1 2 y + 0 z + d = 0

Para encontrarmos d , vamos substituir o ponto ( 1 ,   0 ,   0 ) de s na equação:

1 2 . 1 - 1 2 . 0 + 0 . 0 + d = 0

d = - 1 2

Então, a equação do plano é

1 2 x - 1 2 y - 1 2 = 0

Passo 2

b) Embora as duas retas tenham o mesmo vetor diretor, elas são paralelas e distintas, pois o ponto A = ( 1 ,   3 ,   0 ) de r não pertence à reta s assim como o ponto B = ( 0 ,   0 ,   4 ) de s não pertence à reta r certo?

Então essas retas podem formar um plano com vetores diretores ( 2 ,   3 ,   4 ) e A B → = ( - 1 ,   - 3 ,   4 ) .

O vetor normal desse plano vai ser:

2 ,   3 ,   4 ∧ - 1 ,   - 3 ,   4 = 24 ,   - 12 ,   - 3

Então, a equação do plano é

24 x - 12 y - 3 z + d = 0

Para encontrarmos d , vamos substituir o ponto ( 0 ,   0 ,   4 ) de s na equação:

24 . 0 - 12 . 0 - 3 . 4 + d = 0

d = 12

Então, a equação do plano é

24 x - 12 y - 3 z + 12 = 0

Resposta

a) 1 2 x - 1 2 y - 1 2 = 0

b) 24 x - 12 y - 3 z + 12 = 0

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