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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 1.3 - Ex. 6

Suponha que S = X 1 , X 2 , X 3 seja um conjunto linearmente independente de vetores de um espaço vetorial V. Responda se T = { Y 1 , Y 2 , Y 3 } e linearmente dependente ou independente nos seguintes casos:

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão supondo que S = X 1 , X 2 , X 3 seja um conjunto linearmente independente de vetores de um espaço vetorial V. Responda se T = { Y 1 , Y 2 , Y 3 } e linearmente dependente ou independente nos seguintes casos:

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Na letra (a) para,

Y 1 = X 1 + X 2 ,     Y 2 = X 1 + X 3         e     Y 3 = X 2 + X 3 , temos

x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 = x 1 X 1 + X 2 + x 2 X 1 + X 3 + x 3 X 2 + X 3 = x 1 + x 2 X 1 + x 1 + x 3 X 2 + x 2 + x 3 X 3 = 0

Ficando,

A = [ 1,1 , 0 ; 1,0 , 1 ; 0,1 , 1 ]

1 1 0 1 0 1 0 1 1     e s c a l o n a n d o

1 1 0 1 0 1 0 1 1

x 1 = x 2 = x 2 = 0

Sendo Y 1 ,   Y 2   e   Y 3 uma L.I

Passo 3

Na letra (b) para,

Y 1 = x 1 ,     Y 2 = x 1 + x 3       e     Y 3 = x 1 + x 2 + x 3

Temos,

x 1 Y 1 + x 2 Y 2 + x 3 Y 3 = x 1 X 1 + x 2 X 1 + X 3 + x 3 ( X 1 + X 2 + X 3 )

X 1 + X 2 + X 3 X 1 + X 3 X 2 + X 2 + X 3 X 3 = 0

Ficando

X 1 = X 2 = X 3 = 0 sendo Y 1 Y 2 Y 3 uma L.I

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) Y 1 ,   Y 2   e   Y 3 uma L.I

b) Y 1 Y 2 Y 3 uma L.I

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Mostre que 2 ,t + 1 ,t 2 + 1 , … , t n + 1 , … é um conjunto de polinômios linearmente independente.
Mostre que as funções f 1 t = e λ 1 t ,f 2 t = e λ 2 t , … , f k t = e λ k t , onde λ 1 , … , λ k ∈ R , são linearmente independentes se, e somente se, λ i ≠ λ j , para i ≠ jei , j = 1 , … , k .
Verifique se as funções seguintes são linearmente dependentes ou independentes. a )t , cos ⁡ t , sin ⁡ te mC 2 - π , π ; b ) cos ⁡ t ,1 , sin 2 ⁡ t 2e mC 2 - π , π ; c )1 ,e t + e - t ,e t - e - t e m
Mostre que as funções f 1 t = t e λ 1 t ,f 2 t = t 2 e λ t , … , f k t = t k e λ k t , onde λ ∈ R , são linearmente independentes.
Para k = 0,1 , … , n , seja p k t = t k + t k + 1+ … + t n . Mostre que o conjunto { p 0 t , p 1 t , … , p n t } é linearmente independente em p = R [ t ] .