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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 1.3 - Ex. 5

Verifique que as funções e t cos ⁡ 3 t   e   e t sin ⁡ 3 t são soluções linearmente independentes da equação diferencial y ' ' - 2 y ' + 10 y = 0 .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão ele pede para verificar as funções e t cos ⁡ 3 t   e   e t sin ⁡ 3 t são soluções linearmente independentes da equação diferencial y ' ' - 2 y ' + 10 y = 0 .

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Sabendo que,

e t cos ⁡ 3 t   e   e t sin ⁡ 3 t

y ' ' - 2 y ' + 10 y = 0 .

Temos,

y 1 t = e t cos ⁡ ( 3 t )     e     y 2 t = e t sin ⁡ 3 t

y 1 ' t = e t ( cos ⁡ 3 t - 3 sin ⁡ 3 t )

y 2 ' t = e t ( sin ⁡ 3 t + 3 cos ⁡ 3 t )

Ficando,

y 1 ' ' t = - 2 e t ( 4 cos ⁡ 3 t + 3 sin ⁡ 3 t )

y 1 ' ' t = 2 e t ( - 4 sin ⁡ 3 t   + 3 cos ⁡ 3 t )

y 1 ' ' - 2 y 1 ' + 10 y 1 = e t 0

y 2 ' ' - 2 y 2 ' + 10 y 2 = e t 0

Ficando,

W y 1 , y 2 = e t cos ⁡ 3 t e t sin ⁡ 3 t e t ( cos ⁡ 3 t - 3 sin ⁡ 3 t ) e t ( sin ⁡ 3 t + 3 cos ⁡ 3 t )

Ficando,

W y 1 , y 2 0 = det ⁡ 1 0 1 3 = 3 ≠ 0

Sendo L.I a função dada.

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

A função é linearmente independente (L.I).

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