Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 6.2 - Ex. 5a

Verifique se a matriz [[[cos theta,-,sin theta],[sin theta,cos theta]]] é ortogonal.

Passo 1

E aí, aluno?! Vamos para mais uma questão!

Sabemos que uma matriz A é ortogonal se:

A^(- 1) = A^t

Assim, vamos calcular a transposta e a inversa da matriz dada e verificar se a igualdade é verdadeira.

Passo 2

Calculando a inversa:

[[[cos theta,-,sin theta],[sin theta,cos theta]]]^(- 1) = (1)/(cos theta cos theta - ( - sin theta ) sin theta) [[[cos theta,sin theta],[- sin theta,cos theta]]]

Assim:

(1)/(cos theta cos theta - ( - sin theta ) sin theta) [[[cos theta,sin theta],[- sin theta,cos theta]]] = [[[cos theta,sin theta],[- sin theta,cos theta]]]

Ou seja:

[[[cos theta,-,sin theta],[sin theta,cos theta]]]^(- 1) = [[[cos theta,sin theta],[- sin theta,cos theta]]]

Passo 3

Encontrando agora a transposta:

[[[cos theta,-,sin theta],[sin theta,cos theta]]]^t = [[[cos theta,sin theta],[- sin theta,cos theta]]]

Dessa forma, comparando os resultados da inversa e da transposta, chegamos na conclusão de que

[[[cos theta,-,sin theta],[sin theta,cos theta]]]^(- 1) = [[[cos theta,-,sin theta],[sin theta,cos theta]]]^t

Dessa forma, podemos dizer que a matriz dada é ortogonal.

Resposta

É ortogonal.

Exercícios de Livros Relacionados

Prove que se A for uma matriz diagonalizável, então A k é diagonalizável, qualquer que seja o inteiro positivo k
Prove que matrizes semelhantes têm a mesma nulidade
Suponha que o polinômio característico de alguma matriz A seja p λ = λ - 1 1 λ - 3 2 λ - 4 3 = 0 . Em cada parte, responda a pergunta e explique seu raciocínio.O que pode ser dito sobre as dimensão do
Prove que se A for uma matriz diagonalizável, então o posto de A é o número de autovalores não nulos de A.
Prove que matrizes semelhantes têm o mesmo posto