Verifique se a matriz [[[cos theta,-,sin theta],[sin theta,cos theta]]] é ortogonal.

Passo 1

E aí, aluno?! Vamos para mais uma questão!

Sabemos que uma matriz A é ortogonal se:

A^(- 1) = A^t

Assim, vamos calcular a transposta e a inversa da matriz dada e verificar se a igualdade é verdadeira.

Passo 2

Calculando a inversa:

[[[cos theta,-,sin theta],[sin theta,cos theta]]]^(- 1) = (1)/(cos theta cos theta - ( - sin theta ) sin theta) [[[cos theta,sin theta],[- sin theta,cos theta]]]

Assim:

(1)/(cos theta cos theta - ( - sin theta ) sin theta) [[[cos theta,sin theta],[- sin theta,cos theta]]] = [[[cos theta,sin theta],[- sin theta,cos theta]]]

Ou seja:

[[[cos theta,-,sin theta],[sin theta,cos theta]]]^(- 1) = [[[cos theta,sin theta],[- sin theta,cos theta]]]

Passo 3

Encontrando agora a transposta:

[[[cos theta,-,sin theta],[sin theta,cos theta]]]^t = [[[cos theta,sin theta],[- sin theta,cos theta]]]

Dessa forma, comparando os resultados da inversa e da transposta, chegamos na conclusão de que

[[[cos theta,-,sin theta],[sin theta,cos theta]]]^(- 1) = [[[cos theta,-,sin theta],[sin theta,cos theta]]]^t

Dessa forma, podemos dizer que a matriz dada é ortogonal.

Resposta

É ortogonal.

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