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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.4 - Ex. 15

Mostre que se   T   :   V   →   V for uma contração de V (Exemplo 4 da Seção 8.1 ), então a matriz de T em relação a qualquer base de V é um múltiplo escalar positivo da matriz identidade.

Passo 1

Vamos lá! Sendo nossa matriz T a matriz de transformação por um escalar k , ela é dada por:

P.S: vamos fazer pro R 3 mas nosso exemplo pode ser estendido pra uma matriz n × n .

T = k 0 0 0 k 0 0 0 k

Para um conjunto V = v 1 , v 2 , v 3

T ⋅ V = k 0 0 0 k 0 0 0 k ⋅ v 1 v 2 v 3 =   k ⋅ v 1 k ⋅ v 2 k ⋅ v 3  

k ⋅ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⋅ v 1 v 2 v 3 = k ⋅ v 1 v 2 v 3 = k ⋅ v 1 k ⋅ v 2 k ⋅ v 3

Logo nós temos:

T ⋅ V = k ⋅ I ⋅ V

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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