Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 8
Sejam e formas lineares não nulas no espaço vetorial de , linearmente dependentes. Prove que e sua dimensão é se .
Passo 1
Esta questão é muitooo semelhante a questão 5. Então, é recomendado voltarem para esta questão primeiro. Quando estiverem bastante seguros com a resolução da questão, voltem para essa!
Então, lá provamos que, seja uma forma linear não nula, temos:
Da mesma forma, para a forma linear não nula , temos:
Se assumirmos que , podemos reescrever as relações da seguinte forma:
E assim provamos uma parte da questão.
Passo 2
Agora, temos que provar que os núcleos das transformações e são iguais. Do final do Passo 1, obtivemos que a dimensão de ambos é igual, o que é um pré-requisito.
Para sairmos desse impasse e conseguirmos esta igualdade dos núcleos, teremos que utilizar a seguinte propriedade das transformações lineares. Para uma transformação , podemos escrever as seguintes relações entre os seus subespaços:
O núcleo e a imagem não possuem interseção. São soma direta. A mesma relação é válida para as transformações e .
Então, como sabemos que e são LD, significa que a imagem de ambas são as mesmas, pois existe e diferentes de zero tais que:
Portanto, se a gente junta as duas informações (imagem dos dois espaços serem iguais e a interseção do núcleo com a imagem ser o conjunto vazio), podemos afirmar que:
E assim podemos dizer que concluímos a nossa questão!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)