Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 9
Mostrar que a semelhança de matrizes é uma relação de equivalência no conjunto .
Passo 1
Vamos começar a questão relembrando o que é a relação de equivalência. Ao falarmos de uma matriz, para que ela seja equivalente, ela tem que possuir três propriedades: reflexividade, simetria e transitividade.
Então, vamos verificar cada uma das propriedades, uma por vez.
Começando por reflexividade. Esta propriedade nos diz que uma matriz é semelhante a si mesma. Isto é verdade, pois existe uma matriz (identidade), invertível tal que:
Assim, verificamos a primeira propriedade.
Passo 2
Agora vamos provar a propriedade de simetria. Ela nos diz que, se é semelhante a , então é semelhante a .
Então, se é semelhante a , podemos escrever:
Então, se é semelhante a , existe uma matriz invertível tal que:
Se compararmos ambas as relações, vamos perceber que as matrizes e são tais que .
Então, concluímos que se é semelhante a , então é semelhante a . Assim, comprovamos a segunda propriedade.
Passo 3
Por fim, vamos verificar a propriedade de transitividade. Ela nos diz que, se é semelhante a e é semelhante a , implica que é semelhante a .
O procedimento é bem semelhante ao que fizemos para verificar a simetria. Então, se é semelhante a , temos:
vamos provar a propriedade de simetria. Ela nos diz que, se é semelhante a , então é semelhante a .
Então, se é semelhante a , podemos escrever:
Continuando, se é semelhante a , existe uma matriz invertível tal que:
Pela propriedade de transitividade, podemos implicar que é semelhante a . Então, temos que trabalhar com as relações acima para relacionar as matrizes e .
Vamos começar pela relação de com . Podemos reescrever a relação da seguinte forma:
Substituindo esta relação na relação de com , temos:
Isolando a matriz no segundo membro, temos:
Portanto, existe uma matriz invertível que satisfaça a relação de semelhança entre as matrizes e . Portanto, elas também são semelhantes.
OBS: percebam que, no desenvolvimento da relação final, utilizamos uma propriedade de matrizes inversas, a qual foi: .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)