Enunciado

Mostrar que a semelhança de matrizes é uma relação de equivalência no conjunto M n R .

Passo 1

Vamos começar a questão relembrando o que é a relação de equivalência. Ao falarmos de uma matriz, para que ela seja equivalente, ela tem que possuir três propriedades: reflexividade, simetria e transitividade.

Então, vamos verificar cada uma das propriedades, uma por vez.

Começando por reflexividade. Esta propriedade nos diz que uma matriz A é semelhante a si mesma. Isto é verdade, pois existe uma matriz I (identidade), invertível tal que:

I - 1 A I = A

Assim, verificamos a primeira propriedade.

Passo 2

Agora vamos provar a propriedade de simetria. Ela nos diz que, se A é semelhante a B , então B é semelhante a A .

Então, se A é semelhante a B , podemos escrever:

M - 1 A M = B

Então, se B é semelhante a A , existe uma matriz N invertível tal que:

N - 1 B N = A

Se compararmos ambas as relações, vamos perceber que as matrizes M e N são tais que M - 1 = N .

Então, concluímos que se A é semelhante a B , então B é semelhante a A . Assim, comprovamos a segunda propriedade.

Passo 3

Por fim, vamos verificar a propriedade de transitividade. Ela nos diz que, se A é semelhante a B e B é semelhante a C , implica que A é semelhante a C .

O procedimento é bem semelhante ao que fizemos para verificar a simetria. Então, se A é semelhante a B , temos:

vamos provar a propriedade de simetria. Ela nos diz que, se A é semelhante a B , então B é semelhante a A .

Então, se A é semelhante a B , podemos escrever:

M - 1 A M = B

Continuando, se B é semelhante a C , existe uma matriz N invertível tal que:

N - 1 B N = C

Pela propriedade de transitividade, podemos implicar que A é semelhante a C . Então, temos que trabalhar com as relações acima para relacionar as matrizes A e C .

Vamos começar pela relação de B com C . Podemos reescrever a relação da seguinte forma:

N - 1 B N = C

B = N C N - 1

Substituindo esta relação na relação de A com B , temos:

M - 1 A M = B

M - 1 A M = N C N - 1

Isolando a matriz C no segundo membro, temos:

N - 1 M - 1 A M N = N - 1 N C N - 1 N

M N - 1 A M N = C

P - 1 A P = C

Portanto, existe uma matriz P invertível que satisfaça a relação de semelhança entre as matrizes A e C . Portanto, elas também são semelhantes.

OBS: percebam que, no desenvolvimento da relação final, utilizamos uma propriedade de matrizes inversas, a qual foi: N - 1 M - 1 = M N - 1 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Sejam E = ( e → 1 ,e → 2 ,e → 3 ) , F = ( f → 1 ,f → 2 ,f → 3 ) e G = g → 1 ,g → 2 ,g → 3 bases tais que 2 e → 1 = 3f → 1 - f → 3 g → 1 = e → 1 + e → 2 + e → 3 2 e → 2 = f → 1 + 3f → 3 g → 2 = e → 1 +
Escreva a matriz de mudança de base E = e → 1 ,e → 2 ,e → 3 para a base F = f → 1 ,f → 2 ,f → 3 e exprima o vetor u → = - 4 f → 1 + f → 2 - f → 3 em função de e → 1 ,e → 2 e e → 3 , sabendo que f → 1
Sejam E = ( e → 1 ,e → 2 ,e → 3 ) , F = ( f → 1 ,f → 2 ,f → 3 ) e G = g → 1 ,g → 2 ,g → 3 três bases. Verifique se são verdadeiras ou falsas a afirmações seguintes e justifique sua respostas.a) M E F
Seja O o ponto de encontro das diagonais do paralelepípedo A B C D P Q R S da Figura 8-1. a) Determine a matriz de mudança da base E = A B → ,A D → ,A P → para a base F = O P → ,O S → ,O R → .b) Seja
Mostre que M E E = I 3 .