Mostre que o sistema não linear 2 s e n α - cos ⁡ β + 3 tan ⁡ γ = 3 4 s e n α + 2 cos ⁡ β - 2 tan ⁡ γ = 2   6 s e n α - 3 cos ⁡ β + tan ⁡ γ = 9 tem 18 soluções se

0 ≤ α ≤ 2 π ,     0 ≤ β ≤ 2 π ,     0 ≤ γ ≤ 2 π

Passo 1

Realizar a troca de variável tal que

x = s e n α y = cos ⁡ β z = tan ⁡ γ

E reescrever o sistema

2 x - y + 3 z = 0 4 x + 2 y - 2 z = 0 6 x - 3 y + z = 0

Passo 2

Agora, reescrever o sistema como uma matriz ampliada e escalonar

Para essas operações, utilizaremos o rótulo   L para designar a linha e o operdor:

→ L   q u e   s e r á     a l t e r a d a → O p e r a ç ã o

2 4 6 - 1 2 - 3 3 - 2 1 3 2 9 → L 2 → L 2 - L 1 L 3 → L 3 - 3 L 1 2 0 0 - 1 4 0 3 - 8 - 8 3 - 4 0

Passo 3

Agora, reescrecer a matriz   2 0 0 - 1 4 0 3 - 8 - 8 3 - 4 0 como o sistema linear

2 x - y + 3 z = 3 4 y - 8 z = - 4 - 8 z = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema, vemos que

x = 1 y = - 1 z = 0

Portanto, retornando às funções trigonométricas:

x = s e n α = 1     ∴       α = 90 ° y = cos ⁡ β = - 1       ∴       β = 180 ° z = tan ⁡ γ = 0       ∴       γ = 0 °

Resposta

    α = 90 ° β = 180 ° γ = 0 °

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