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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.1 - Ex. 6

Seja

A =   1 - 1 - 4 1 .

Mostraremos no Exemplo 6.6 na página 398 que

P = 1 1 - 2 2 e D = 3 0 0 - 1

São tais que

A = P D P - 1 .

Determine A k , para k =1, 2, 3...

Passo 1

Oioi, vamos lá para outro exercício:

Primeiro vamos montar o problema explicitando as matrizes:

A k = P D k P - 1

Dessa forma:

D k = 3 k 0 0 ( - 1 ) k

P - 1 = 1 1 - 2 2 - 1

A k = 1 1 - 2 2 3 k 0 0 ( - 1 ) k 1 1 - 2 2 - 1

Passo 2

Desenvolvendo:

A k = 3 k ( - 1 ) k - 2 3 k 2 ( - 1 ) k 1 4 2 - 1 2 1

A k = 1 4 3 k ( - 1 ) k - 23 k 2 ( - 1 ) k 2 - 1 2 1

A k = 1 4 2 ( 3 k + ( - 1 ) k ) ( - 1 ) k - 3 k 4 ( - 1 k - 3 k ) 2 ( 3 k + ( - 1 ) k )

Resposta

A k = 1 4 2 ( 3 k + ( - 1 ) k ) ( - 1 ) k - 3 k 4 ( - 1 k - 3 k ) 2 ( 3 k + ( - 1 ) k )

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