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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 6.Exercício - Ex. 16a

No tetraedro A B C D , sejam M , N e P , respectivamente, os pontos médios de B D ,   C D e A C , e G o baricentro do triângulo M N P .

a) Exprima B G → como combinação linear de B A → ,   B C → ,   B D → .

Passo 1

a) Vamos lá, M ,   N e P são pontos médios, então:

M = B + D 2

N = C + D 2

P = A + C 2

E como G é o baricentro do triângulo M N P , sabemos, por geometria, que:

G = M + N + P 3

Substituindo os pontos que encontramos:

G = B + D 2 + C + D 2 + A + C 2 3

G = A + B + 2 C + 2 D 6

Passo 2

Queremos B G → como combinação linear de B A → ,   B C → ,   B D → , primeiro vamos encontrar B G → :

B G → = G - B

B G → = A + B + 2 C + 2 D 6 - B

B G → = A + B + 2 C + 2 D 6 - 6 B 6

B G → = A - 5 B + 2 C + 2 D 6

Vamo separar em 4 frações?

B G → = A 6 - 5 B 6 + C 3 + D 3

Passo 3

Queremos uma combinação linear, então precisamos encontrar α ,   β ,   γ tais que:

B G → = α B A → + β B C → + γ B D →

Decompondo os vetores como subtração de dois pontos:

A 6 - 5 B 6 + C 3 + D 3 = α A - B + β C - B + γ ( D - B )

A 6 - 5 B 6 + C 3 + D 3 = α A - α B + β C - β B + γ D - γ B

Vamos agrupar esses termos aí

A 6 - 5 B 6 + C 3 + D 3 = A . α + B . - α - β - γ + C . β + D . γ

O que a gente vai fazer agora é igualar tudo que multiplica A dos dois lados, depois igualar tudo que multiplica B e assim vai, olha:

α = 1 6 - α - β - γ = - 5 6 β = 1 3 γ = 1 3

Desse sistema, encontramos

α = 1 6                     β = 1 3                   γ = 1 3

Logo:

B G → = 1 6 B A → + 1 3 B C → + 1 3 B D →

Boaaaa!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja P um ponto interior ao triangulo ABC tal que P A → + P B → + P C → = 0 . Prove que as retas AP, BP e CP são medianas de ABC, logo P é o baricentro desse triângulo.
Exprima o vetor w = (1, 1) como combinação linear de u = (−2, 1) e v = (1, −1).
Se os vetores u ,vew não são coplanares, mostre geometricamente que todo vetor do espaço se exprime como combinação linear
Dados quatro vetores no espaço, prove que um deles é combinação linear dos outros três.
Determine quais dos seguintes conjuntos é tal que nenhum dos seus vetores é combinação linear dos outros dois: a ){ ( 1 ,- 1 ,2 ) , ( 1 ,1 ,0 ) , ( 1 ,- 1 ,1 ) } b ){ ( 2 ,1 ,2 ) , ( 1 ,- 1 ,1 ) , ( 5