Mostre que vale a identidade dada com vetores de qualquer espeço com produto interno.

u + v 2 + u - v 2 = 2 u 2 + 2 v 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Seja u e v qualquer vetor no espaço interno do produto.

O objetivo é mostrar que:

u + v 2 + u - v 2 = 2 u 2 + 2 v 2

Para qualquer vetor u , temos que:

u = u , u

Ou:

u 2 = u , u

Portanto:

u + v 2 + u - v 2 = u + v , u + v + u - v , u - v

Usando a propriedade de que:

u , v + w = u , v + u , w

u , v - w = u , v - u , w

Ou:

u + v , w = u , w + v , w

u - v , w = u , w - v , w

Portanto:

u + v , u + v = u + v , u + u + v , v

u + v , u + v = u , u + v , u + u , v + v , v

u + v , u + v = u 2 + 2 u , v + v 2

E:

u - v , u - v = u - v , u + u - v , v

u - v , u - v = u , u - v , u + u , v - v , v

u - v , u - v = u 2 + v 2

Passo 2

Substituindo os valores obtidos, temos que:

u + v 2 + u - v 2 = u + v , u + v + u - v , u - v

u + v 2 + u - v 2 = u 2 + 2 u , v + v 2 + u 2 + v 2

u + v 2 + u - v 2 = 2 u 2 + 2 u , v + 2 v 2

Portanto, a identidade:

u + v 2 + u - v 2 = 2 u 2 + 2 u , v + 2 v 2

É válida para quaisquer vetores em qualquer espaço interno do produto.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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