Enunciado

Sejam u = u 1 , u 2 , u 3 e v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) . Em cada parte, determine se a expressão é um produto interno em R 3 . Se não for, liste os axiomas que não valem.

  1. u , v = u 1 v 1 + u 3 v 3
  2. u , v = u 1 2 v 1 2 + u 2 2 v 2 2 + u 3 2 v 3 2
  3. u , v = 2 u 1 v 1 + u 2 v 2 + 4 u 3 v 3
  4. u , v = u 1 v 1 - u 2 v 2 + u 3 v 3

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Para o item a , temos que:

u , v = u 1 v 1 + u 3 v 3

Portanto:

v , u = v 1 u 1 + v 3 u 3

Com isso, podemos dizer que o axioma da simetria é satisfeito:

u , v = v , u

Vamos agora encontrar u + v :

u + v = u 1 + v 1 , u 2 + v 2 ,   u 3 + v 3

Temos que:

u + v , z = u 1 + v 1 z 1 + u 3 + v 3 z 3

u + v , z = u 1 z 1 + v 1 z 1 + u 3 z 3 + v 3 z 3

u + v , z = u , z + v , z

O axioma da aditividade é satisfeito.

Passo 2

Vamos encontrar k u , v :

k u , v = k u 1 v 1 + k u 3 v 3

k u , v = k u 1 v 1 + u 3 v 3

k u , v = k u , v

Portanto, o axioma da homogeneidade é satisfeito.

Considere que:

v , v = 0,1 , 0 , ( 0,1 , 0 )

v , v = 0 0 + 0 0

v , v = 0

Então, o dado produto interior não é um produto interno em R 3 .

Passo 3

Para o item b , temos que:

u , v = u 1 2 v 1 2 + u 2 2 v 2 2 + u 3 2 v 3 2

Portanto:

v , u = v 1 2 u 1 2 + v 2 2 u 2 2 + v 3 2 u 3 2

Com isso, podemos dizer que o axioma da simetria é satisfeito:

u , v = v , u

Vamos agora encontrar u + v :

u + v = u 1 + v 1 , u 2 + v 2 ,   u 3 + v 3

Temos que:

u + v , z = u 1 + v 1 2 z 1 2 + u 2 + v 2 2 z 2 2 + u 3 + v 3 2 z 3 2

u + v , z = u 1 2 + v 1 2 + 2 u 1 v 1 z 1 2 + u 2 2 + v 2 2 + 2 u 2 v 2 z 2 2 + u 3 2 + v 3 2 + 2 u 3 v 3 z 3 2

u + v , z = u , z + v , z + 2 u 1 v 1 z 1 2 + 2 u 2 v 2 z 2 2 + 2 u 3 v 3 z 3 2

O axioma da aditividade não é satisfeito.

Passo 4

Vamos encontrar k u , v :

k u , v = k u 1 2 v 1 2 + k u 2 2 v 2 2 + k u 3 2 v 3 2

k u , v = k 2 u 1 2 v 1 2 + u 2 2 v 2 2 + u 3 2 v 3 2

k u , v = k 2 u , v

Portanto, o axioma da homogeneidade não é satisfeito.

Temos que:

v , v = v 1 2 v 1 2 + v 2 2 v 2 2 + v 3 2 v 3 2

v , v = v 1 4 + v 2 4 + v 3 4

v , v = 3 v 1 2 + v 1 + v 2 2 + 3 v 2 2

Passo 5

Para o item c , temos que:

u , v = 2 u 1 v 1 + u 2 v 2 + 4 u 3 v 3

Portanto:

v , u = 2 v 1 u 1 + v 2 u 2 + 4 v 3 u 3

Com isso, podemos dizer que o axioma da simetria é satisfeito:

u , v = v , u

Temos que:

u + v , z = 2 u 1 + v 1 z 1 + u 2 + v 2 z 2 + 4 u 3 + v 3 z 3

u + v , z = 2 u 1 z 1 + u 2 z 2 + 4 u 3 z 3 + 2 v 1 z 1 + v 2 z 2 + 4 v 3 z 3

u + v , z = u , z + v , z

O axioma da aditividade é satisfeito.

Passo 6

Vamos encontrar k u , v :

k u , v = 2 k u 1 v 1 + k u 2 v 2 + 4 k u 3 v 3

k u , v = k 2 u 1 v 1 + u 2 v 2 + 4 u 3 v 3

k u , v = k u , v

Portanto, o axioma da homogeneidade é satisfeito.

Temos que:

v , v = 2 v 1 v 1 + v 2 v 2 + 4 v 3 v 3

v , v = 2 v 1 2 + v 2 2 + 4 v 3 2

O axioma da positividade é verdadeiro.

Passo 7

Para o item d , temos que:

u , v = u 1 v 1 - u 2 v 2 + u 3 v 3

Portanto:

v , u = v - 1   u 1 - v 2 u 2 + v 3 u 3

Com isso, podemos dizer que o axioma da simetria é satisfeito:

u , v = v , u

Temos que:

u + v , z = u 1 + v 1 z 1 - u 2 + v 2 z 2 + u 3 + v 3 z 3

u + v , z = u 1 z 1 + v 1 z 1 - u 2 z 2 - v 2 z 2 + u 3 z 3 + v 3 z 3

u + v , z = u , z + v , z

O axioma da aditividade é satisfeito.

Passo 8

Vamos encontrar k u , v :

k u , v = k u 1 v 1 - k u 2 v 2 + k u 3 v 3

k u , v = k u 1 v 1 - u 2 v 2 + u 3 v 3

k u , v = k u , v

Portanto, o axioma da homogeneidade é satisfeito.

Temos que:

v , v = v 1 v 1 - v 2 v 2 + v 3 v 3

v , v = v 1 2 - v 2 2 + v 3 2

Portanto, o axioma da positividade é violado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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