Sejam U = u 1 u 3       u 2 u 4 e V = u 1 u 3       u 2 u 4 . Mostre que U , V = u 1 v 1 + u 2 v 3 + u 3 v 2 + u 4 v 4 não define um produto interno em M 22 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Seja U e V qualquer vetor no espaço interno do produto.

Temos que:

U , V = u 1 v 1 + u 2 v 3 + u 3 v 2 + u 4 v 4

Portanto:

V , U = v 1 u 1 + v 2 u 3 + v 3 u 2 + v 4 u 4

Logo:

U , V = V , U

Portanto, o axioma de simetria é satisfeito.

Temos que:

U + V , Z = u 1 + v 1 z 1 + u 2 + v 2 z 3 + u 3 + v 3 z 2 + u 4 + v 4 z 4

U + V , Z = u 1 z 1 + v 1 z 1 + u 2 z 3 + v 2 z 3 + u 3 z 2 + v 3 z 2 + u 4 z 4 + v 4 z 4

U + V , Z = u 1 z 1 + u 2 z 3 + u 3 z 2 + u 4 z 4 + v 1 z 1 + v 2 z 3 + v 3 z 2 + v 4 z 4

U + V , Z = U , Z + V , Z

Portanto o axioma da aditividade é verdadeiro.

Passo 2

Seja k qualquer escalar:

k U = k u 1 u 3       u 2 u 4 = k u 1 k u 3       k u 2 k u 4

Portanto:

k U , V = k u 1 v 1 + k u 2 v 3 + k u 3 v 2 + k u 4 v 4

k U , V = k u 1 v 1 + u 2 v 3 + u 3 v 2 + u 4 v 4

k U , V = k U , V

Portanto, o axioma da homogeneidade é verdadeiro.

Consideremos agora U , U . Temos que:

U , U = u 1 u 1 + u 2 u 3 + u 3 u 2 + u 4 u 4

U , U = u 1 2 + u 4 2 + 2 u 2 u 3

Como u 1 2 + u 4 2 não pode ser negativo, mas 2 u 2 u 3 pode ser negativo e seu valor número pode exceder, temos que o axioma da positividade falha.

Portanto, o produto dado não é um produto interno em M 22 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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