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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 27

Sejam U = u 1 u 3       u 2 u 4 e V = u 1 u 3       u 2 u 4 . Mostre que U , V = u 1 v 1 + u 2 v 3 + u 3 v 2 + u 4 v 4 não define um produto interno em M 22 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Seja U e V qualquer vetor no espaço interno do produto.

Temos que:

U , V = u 1 v 1 + u 2 v 3 + u 3 v 2 + u 4 v 4

Portanto:

V , U = v 1 u 1 + v 2 u 3 + v 3 u 2 + v 4 u 4

Logo:

U , V = V , U

Portanto, o axioma de simetria é satisfeito.

Temos que:

U + V , Z = u 1 + v 1 z 1 + u 2 + v 2 z 3 + u 3 + v 3 z 2 + u 4 + v 4 z 4

U + V , Z = u 1 z 1 + v 1 z 1 + u 2 z 3 + v 2 z 3 + u 3 z 2 + v 3 z 2 + u 4 z 4 + v 4 z 4

U + V , Z = u 1 z 1 + u 2 z 3 + u 3 z 2 + u 4 z 4 + v 1 z 1 + v 2 z 3 + v 3 z 2 + v 4 z 4

U + V , Z = U , Z + V , Z

Portanto o axioma da aditividade é verdadeiro.

Passo 2

Seja k qualquer escalar:

k U = k u 1 u 3       u 2 u 4 = k u 1 k u 3       k u 2 k u 4

Portanto:

k U , V = k u 1 v 1 + k u 2 v 3 + k u 3 v 2 + k u 4 v 4

k U , V = k u 1 v 1 + u 2 v 3 + u 3 v 2 + u 4 v 4

k U , V = k U , V

Portanto, o axioma da homogeneidade é verdadeiro.

Consideremos agora U , U . Temos que:

U , U = u 1 u 1 + u 2 u 3 + u 3 u 2 + u 4 u 4

U , U = u 1 2 + u 4 2 + 2 u 2 u 3

Como u 1 2 + u 4 2 não pode ser negativo, mas 2 u 2 u 3 pode ser negativo e seu valor número pode exceder, temos que o axioma da positividade falha.

Portanto, o produto dado não é um produto interno em M 22 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Em cada parte, esboce o círculo unitário em R 2 usando o produto interno dado. u , v = 1 4 u 1 v 1 + 1 16 u 2 v 2 u , v = 2 u 1 v 1 + u 2 v 2
Sejam u = u 1 , u 2 e v = v 1 , v 2 . Em cada parte, mostre que a expressão é um produto interno em R 2 verificando a validade dos axiomas de produto interno. u , v = 3 u 1 v 1 + 5 u 2 v 2 u , v = 4 u
Suponha que u ,v e w sejam vetores tais que u , v = 2 , v , w = - 3 , u , w = 5 u = 1 , v = 2 , w = 7 Em cada parte, calcule a expressão. u + v , v + w 2 v - w , 3 u + 2 w u - v - 2 w , 4 u + v u + v
Mostre que vale a identidade dada com vetores de qualquer espaço com produto interno. u , v = 1 4 u + v 2 - 1 4 u - v 2
Suponha que P 3 tenha o produto interno de avaliação nos pontos amostrais x 0 = - 1 , x 1 = 0 , x 2 = 1 , x 3 = 2 Encontre p , q e p com p = x + x 3 e q = 1 + x 2 .