Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 19
19. Seja um espaço com produto interno. Mostre que se for ortogonal a cada um dos vetores , , ... , , então é ortogonal a cada vetor em ger{, , ... , }.
Passo 1
Como é ortogonal a cada um dos vetores, então:
Agora vamos escolher número escalares quaiquer, ... e definir:
Passo 2
Fazendo o produto interno:
Então está demonstrado
Resposta
Demonstração
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22. Prove a generalização do Teorema 6.2.3 a seguir. Se v → 1 ,v → 2 , … ,v → r forem vetores dois a dois ortogonais de um espaço com produto interno V , então v → 1 + v → 2 + … + v → r = v → 1 2 + v
28. Os vetores u = 1 , 3 e v = - 1 , 3 indicados na figura dada têm norma 2 e o ângulo de 60° entre eles em relação ao produto interno euclidiano. Encontre um produto interno euclidiano ponderado em r
20. Seja { v 1 ,v 2 ,… , v r } uma base de um espaço com produto interno V . Mostre que o vetor nulo é o único vetor em V que é ortogonal a cada um dos vetores da base.
29. (Requer Cálculo) Sejam f ( x ) e g ( x ) funções contínuas em [ 0,1 ] . Prove:(a) ∫ 0 1 f x g xd x 2 ≤ ∫ 0 1 f 2 xd x ∫ 0 1 g 2 xd x (b) ∫ 0 1 f x + g x 2 d x 1 2 ≤ ∫ 0 1 f 2 xd x 1 2 + ∫ 0 1 g 2
27. Use métodos vetoriais para provar que sempre é retângulo qualquer triângulo inscrito num círculo de tal modo que um de seus lados seja um diâmetro. [Sugestão: expresse os vetores A B → e B C → da