19. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se w for ortogonal a cada um dos vetores u 1 , u 2 , ... , u f , então w é ortogonal a cada vetor em ger{ u 1 , u 2 , ... , u f }.

Passo 1

Como w é ortogonal a cada um dos vetores, então:

w ⋅ u 1 = 0

w ⋅ u 2 = 0

w ⋅ u f = 0

Agora vamos escolher número escalares quaiquer, ( k 1 k 2 , … , k f ) ... e definir:

g e r u 1 , u 2 , … , u f = ( k 1 u 1 , k 2 u 2 , … , k f u f )

Passo 2

Fazendo o produto interno:

w ⋅ k 1 u 1 = k 1 w ⋅ u 1 = 0

w ⋅ k 2 u 2 = k 2 w ⋅ u 2 = 0

w ⋅ k f u f = k f w ⋅ u f = 0

Então está demonstrado

Resposta

Demonstração

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