Mostre que se os vetores u e v têm o mesmo comprimento então u + v e u – v são ortogonais. E a recíproca?

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin?? É hora da resolução!!! Vamos lá??

Observe que:

u + v , u - v =   u 2 + v , u - u , v + v 2

u + v , u - v =   u 2 + v 2 = ( u + v ) ( u - v )

Se u e v tem o mesmo comprimento, então u = v → u - v = 0  

Sendo assim,

u + v , u - v =   u + v . 0

u + v , u - v =   0

Como queríamos demonstrar.

Passo 2

Vejamos a recíproca.

Se u + v e u – v são ortogonais, então u + v , u - v =   0 .

Isso implica que:

u + v u - v = 0

Para esse produto ser igual a zero, ou u - v = 0   ou u + v = 0

Assim, temos que:

u - v = 0  

u = v  

Ou seja, u e v tem o mesmo comprimento.

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Veja a demonstração acima.

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