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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 2

No exercício anterior, mantenha os pontos A e B mas substitua C pelo ponto D = (1, 7). Qual será a resposta?

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin?? É hora da resolução!!! Vamos lá??

Considerando os dados obtidos no problema anterior, a mediatriz do segmento AB continua igual, ou seja:

m A B : x - 3 y + 5 = 0

Agora, com a mudança do ponto C para o ponto D, vamos determinar o ponto médio do segmento BD.

M B D = 3,1 + ( 1 , 7 ) 2 = ( 4 , 8 ) 2 = 2 , 4

Vamos definir agora o vetor BD que orienta a reta que passa pelos pontos B e D.

B D → = D - B = ( - 2 , 6 )

Logo, a reta mediatriz m B D que é perpendicular à B D → será dada por:

m B D : - 2 x + 6 y + c = 0

Substituindo o ponto médio encontrado, podemos determinar c:

- 2 . 2 + 6 . 4 + c = 0 →     c = - 2 0

Logo,

m B D : - 2 x + 6 y - 20 = 0

Ou ainda,

m B D : x - 3 y + 10 = 0

Passo 2

Montando um sistema com as retas mediatrizes encontraremos o ponto de interseção das mediatrizes que será o centro da nossa circunferência.

x - 3 y + 5 = 0 x - 3 y - 10 = 0

Avaliando esse sistema veremos que se trata de um sistema impossível, o que implica que não a ponto de interseção entre tais retas. Isso nos leva à uma conclusão: as retas mediatrizes são paralelas.

Isso nos dá indícios de que os pontos A, B e D pertençam a mesma reta. Vamos verificar?

Seja a matriz das coordenadas dos pontos A, B e D: x A y A 1 x B y B 1 x D y D 1 caso o seu determinante seja zero, os pontos são colineares:

d e t   2 4 1 3 1 1 1 7 1 = 2 + 4 + 21 - 1 + 14 + 12 = 27 - 27 = 0

Assim, podemos concluir que os pontos não são colineares e, consequentemente, não é possível encontrar uma circunferência à qual os três pontos pertençam.

Resposta

Não existe circunferência pois os três pontos são colineares.

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