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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 3

Com os mesmos dados do primeiro exercício, obtenha as coordenadas do centro P = (x, y) da circunferência ABC resolvendo o sistema de equações d(A, P)² = d(B, P)² e d(B, P)² = d(C, P)², nas incógnitas x e y. Observe que, após simplificações, este sistema é o mesmo obtido anteriormente.

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin?? É hora da resolução!!! Vamos lá??

Considerando os dados do primeiro exercício A = (2, 4), B = (3, 1) e C = (5, 3) vamos calcular as distâncias de cada um deles até P=(x,y).

d A P 2 = x - 2 2 + y - 4 2 = x 2 + y 2 - 4 x - 8 y + 20    

d B P 2 = x - 3 2 + y - 1 2 = x 2 + y 2 - 6 x - 2 y + 10    

d C P 2 = x - 5 2 + y - 3 2 = x 2 + y 2 - 10 x - 6 y + 34    

Vamos igualar d A P 2 e d B P 2 :

x 2 + y 2 - 4 x - 8 y + 20   = x 2 + y 2 - 6 x - 2 y + 10      

- 4 x - 8 y + 20   = - 6 x - 2 y + 10      

2 x - 6 y + 1 0   = 0      

Agora igualar d B P 2 e d C P 2 :

x 2 + y 2 - 6 x - 2 y + 10 =   x 2 + y 2 - 10 x - 6 y + 34    

- 6 x - 2 y + 1 0   = - 10 x - 6 y + 34      

4 x + 4 y - 24   = 0      

Passo 2

Montando um sistema com as equações encontradas com a comparação das distâncias, temos:

2 x - 6 y + 10   = 0 4 x + 4 y - 24   = 0

A solução desse sistema é dada por:

x = 13 4   ; y = 11 4

Exatamente como encontrado no primeiro exercício.

Resposta

Veja a demonstração

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