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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 27a

Obtenha a área do triângulo de vértices A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) e C (2 , 0 , 1)

Passo 1

Nessa questão, temos que determinar os vetores que ligam os pontos do vértice desse triângulo.

Como um triângulo tem três vétices e, portanto, três vetores, temos:

[[vec A B,=,B,-,A,=,(0 - 1),î,+,(2 - 0),hat j,+,(3 - 1),hat k],[vec A C,=,C,-,A,=,(2 - 1),î,+,(0 - 0),hat j,+,(1 - 1),hat k]]

[[vec A B,=,-,1,î,+,2,hat j,+,2,hat k],[vec A C,=,1,î]]

[[vec A B,=,(- 1 , 2 , 2)],[vec A C,=,(1 , 0 , 0)]]

Passo 2

O cálculo da área do triângulo é dado por S = (1)/(2) |vec A B xx vec A C| . Então, temos que calcular

vec A B xx vec A C

vec A B xx vec A C = ([[hat i,hat j,hat k],[-,1,2,2],[1,0,0]])

vec A B xx vec A C = hat i |[[2,2],[0,0]]| - hat j |[[-,1,2],[1,0]]| + hat k |[[-,1,2],[1,0]]|

vec A B xx vec A C = hat i (0 - 0) - hat j (0 - 2) + hat k (- 2)

vec A B xx vec A C = hat i (0) - hat j (- 2) + hat k (- 2)

vec A B xx vec A C = (0 , 2 , - 2)

Passo 3

Agora, o módulo temos que calcular o módulo desse vetor vec A B xx vec A C para jogálo na equação da área do triângulo. Assim:

|vec A B xx vec A C| = sqrt((0)^2 + (2)^2 + (- 2)^2)

|vec A B xx vec A C| = sqrt(8)

|vec A B xx vec A C| = 2 sqrt(2)

Passo 4

Juntando as peças na equação S = (1)/(2) |vec A B xx vec A C| , temos

S = (1)/(2) |vec A B xx vec A C|

S = (1)/(2) xx 2 sqrt(2)

S = sqrt(2)

Ahhhh... Lá no final do livro está dando (sqrt(26))/(2) , maaaas possivelmente teve um erro de digitação quando traduziram o livro. Na versão em inglês o ponto C é (2,1 , 0) e aí dá certinho essa resposta, ok?

Resposta

sqrt(2)

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