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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 22a

A hipérbole H tem centro O, focos em um dos eixos coordenados, e contém os pontos A e B. Escreva equações reduzidas de H e de suas assíntotas e determine os focos e vértices.

  1. A = 6 , 7 , B = - 1,0 .
  2. A = 3,2 , B = 1,4 .
  3. A = 3,2 , B = 1 , 2 .
  4. A = 1,1 , B = 4,4 .

Passo 1

Já começamos sabendo que a nossa hipérbole tem centro em O . Isto é muito importante pois com esta informação, sabemos que ela não está transladada! Então, a sua equação reduzida pode ser:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Se ela tiver focos no eixo O x , ou:

- x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Se ela tiver focos no eixo O y . Percebam que a diferença está apenas em qual variável o sinal positivo acompanha.

Bom, o trabalho desta questão está em descobrir estes valores a e b , escrever as equações das assíntotas, que são sempre dadas por y = ± b x / a e depois escrevermos as coordenadas dos focos e dos vértices.

Mas, antes de tudo, precisamos escrever a equação da hipérbole. A ideia é substituirmos as coordenadas dos pontos A e B e montarmos um sistema de equação. Ao resolvermos este sistema, teremos os valores de a e b da nossa hipérbole.

Passo 2

Vamos agora as contas. Começando pela hipérbole com focos no eixo O x . Portanto, os pontos A = 6 , 7 , B = - 1,0 pertencem a nossa hipérbole. Logo, nossa primeira equação será:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

6 2 a 2 - 7 2 b 2 = 1

36 a 2 - 7 b 2 = 1

E vamos parar por aqui. Agora, vamos substituir as coordenadas de B . Portanto,

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

- 1 2 a 2 - 0 2 b 2 = 1

1 a 2 = 1

a 2 = 1

a = 1

Lembrem-se que os parâmetros geométricos são sempre números positivos! Como então já descobrimos o valor de a , vamos voltar na outra equação para descobrirmos o valor de b . Portanto,

36 a 2 - 7 b 2 = 1

36 1 - 7 b 2 = 1

7 b 2 = 36 - 1 = 35

b 2 = 7 35 = 1 5

b = 5 5

Portanto, a equação reduzida da nossa hipérbole é:

x 2 1 2 - y 2 5 5 2 = 1

E as suas assíntotas são y = ± b x / a , então:

y = ± b a x = ± 5 5 1 x

y = ± 5 5 x

E, por fim, precisamos determinar os focos. Eles possuem coordenadas F = ± c , 0 , sendo c = a 2 + b 2 . Portanto,

c = 1 2 + 5 5 2 = 1 + 1 5 = 6 5

Então, as coordenadas dos focos são:

F = ± 6 5 , 0

Já os vértices possuem coordenadas A = ± a , 0 = ± 1,0 .

Passo 3

Para esta questão, nem precisamos avaliar a possibilidade da hipérbole possuir focos no eixo O y , consequentemente, ser dada pela seguinte equação:

- x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Isto ocorre, pois, a hipérbole intercepta o eixo O x . Vejamos o ponto B = - 1,0 . É um ponto que pertence ao eixo O x ! Logo, a hipérbole nunca pode ter focos no eixo O y !

Resposta

Equação reduzida da hipérbole:

x 2 1 2 - y 2 5 5 2 = 1

Assíntotas:

y = ± 5 5 x

Focos:

F = ± 6 5 , 0

Vértices:

A = ± 1,0

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Sejam T = ( h , k ) um ponto da hipérbole H : x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 e A e B os pontos em que a reta tangente a hipérbole em T intercepta as assíntotas. ( a ) Escreva as coordenadas de A e B em termos
Obtenha equações das retas que contém o ponto P = ( 1 , - 9 ) e são tangentes a hipérbole de equação 3 x 2 - y 2 = 39 . Determine os pontos de tangência e a reta normal em cada um deles.
Seja H a hipérbole de equação reduzida - x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1 . Calcule as distâncias de um ponto genérico X = x ,y de H aos focos, em função de y .
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