Obtenha, em cada caso, equações das retas que contém o ponto e são tangentes à cônica.
Passo 1
- Inicialmente, se substituirmos as coordenadas de na equação da cônica, veremos que é um ponto da cônica.
- Se substituirmos as coordenadas de na equação da cônica, veremos que não é um ponto da cônica. Assim, considere a equação da reta que possui coeficiente angular e que passa por :
- Se substituirmos as coordenadas de na equação da cônica, veremos que pertence à cônica.
- Se substituirmos as coordenadas de na equação da cônica, veremos que pertence à cônica.
Podemos obter a equação da reta tangente de várias maneiras. Uma delas é a derivada. Assim, vamos derivar ambos lados da equação da cônica:
Substituindo as coordenadas de , temos
Portanto, a equação da reta tangente será dada por
Passo 2
Agora, vamos substituir este valor de na equação da cônica
Para que a reta seja tangente, a equação acima deve possui apenas uma solução. Portanto,
Assim, ou . As equações serão
Passo 3
Vamos então derivar a equação da cônica:
Substituindo e , temos
Assim, a equação da reta é:
Passo 4
Derivando a equação da cônica,
Substituindo os valores de e , teremos:
Assim, equação da reta será
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)