Utilizando translações e rotações, reduza a equação a uma forma mais simples e identifique a cônica correspondente. Especifique a medida em radianos do ângulo de rotação utilizado.
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Passo 1
Como não há termo linear, vamos somente fazer a rotação:
Como
Onde estamos interessados apenas no ângulo positivo.
Passo 2
Assim, temos
onde
Portanto, a nova equação é:
que é uma hipérbole.
Passo 3
Novamente, não há termo linear. Assim,
Assim, podemos escrever:
Portanto, a nova equação será:
que é uma elipse.
Passo 4
Vamos inicialmente eliminar os termos lineares.
Temos . Portanto, temos
Assim, montamos o sistema linear:
Dessa forma,
Portanto, a nova equação da cônica após a translação é:
Passo 5
Agora, basta realizar a rotação:
Assim,
Finalmente, a equação desejada é:
que representa uma hipérbole.
Passo 6
Vamos tentar eliminar os termos lineares:
Portanto, podemos montar o sistema
Se multiplicarmos para a segunda por e somarmos com a primeira, teremos
o que é, obviamente, falso. Logo, o sistema é impossível. Portanto, a cônica ou é uma parábola ou o conjunto vazio.