Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 23.Exercício - Ex. 7abcd

Utilizando translações e rotações, reduza a equação a uma forma mais simples e identifique a cônica correspondente. Especifique a medida em radianos do ângulo de rotação utilizado.

  1. 32 x 2 + 52 x y - 7 y 2 + 180 = 0 .
  2. 7 x 2 - 6 3 x y + 13 y 2 - 16 = 0 .
  3. x 2 - 5 x y - 11 y 2 - x + 37 y + 52 = 0 .
  4. 4 x 2 - 4 x y + y 2 - 8 5 x - 16 5 y = 0 .
  5. x 2 + y 2 - 2 x y - 8 2 x - 8 2 y = 0 .
  6. 8 y 2 + 6 x y - 12 x - 26 y + 11 = 0 .
  7. 17 x 2 - 12 x y + 8 y 2 = 0 .
  8. 19 x 2 + 6 x y + 11 y 2 + 38 x + 6 y + 29 = 0 .

Passo 1

  1. Como não há termo linear, vamos somente fazer a rotação:

    2. cot ⁡ 2 θ = a - c b = 39 52 = 3 4 ⟹ cot ⁡ 2 θ = 3 4 ∴ tan ⁡ 2 θ = 4 3

    Como

    tan ⁡ 2 θ = 2 tan ⁡ θ 1 - tan 2 ⁡ θ = 4 3 ⟹ 2 tan 2 ⁡ θ + 3 tan ⁡ θ - 2 = 0

    tan ⁡ θ = - 3 ± 3 2 - 4 2 - 2 4 = - 3 + 5 2 = 1 2 ⟹ tan ⁡ θ = 1 2

    Onde estamos interessados apenas no ângulo positivo.

    Passo 2

    Assim, temos

    a ' + c ' = 32 + - 7 a ' - c ' = 52 sin ⁡ 2 θ

    onde

    sin ⁡ 2 θ = 1 1 + cot 2 ⁡ 2 θ = 1 1 + 3 4 2 = 4 5

    ∴ a ' + c ' = 25 a ' - c ' = 65 ⟹ a ' = 45   e   c ' = - 20

    Portanto, a nova equação é:

    45 x 2 - 20 y 2 + 180 = 0 ∴ - x 2 4 + y 2 9 = 1

    que é uma hipérbole.

    Passo 3

  2. Novamente, não há termo linear. Assim,

    3. cot ⁡ 2 θ = 7 - 13 - 6 3 = 1 3 ⟹ 2 θ = π 3 ∴ θ = π 6

    Assim, podemos escrever:

    a ' + c '   = a + c a ' - c ' = b sin ⁡ 2 θ ⟹ a ' + c ' = 20 a ' - c ' = - 6 3 3 / 2 ⟹ a ' + c ' = 20 a ' - c ' = - 12 ⟹ a ' = 4   e   c ' = 16

    Portanto, a nova equação será:

    4 x 2 + 16 y 2 - 16 = 0 ⟹ x 2 4 + y 2 = 1

    que é uma elipse.

    Passo 4

  3. Vamos inicialmente eliminar os termos lineares.

    4. Temos a = 1 .   b = - 5 , c = - 11 ,   d = - 1 ,   e = 37 ,   f = 52 . Portanto, temos

    M 3 = a b / 2 d / 2 b / 2 c e / 2 d / 2 e / 2 f = 1 - 5 / 2 - 1 / 2 - 5 / 2 - 11 37 / 2 - 1 / 2 37 / 2 52

    Assim, montamos o sistema linear:

    h - 5 2 k - 1 2 = 0 - 5 2 k - 11 h + 37 2 = 0 ⟹ h = 3   e   k = 1

    Dessa forma,

    f ' = - 1 2 h + 37 2 k + 52 = 69

    Portanto, a nova equação da cônica após a translação é:

    x 2 - 5 x y - 11 y 2 + 69 = 0

    Passo 5

    Agora, basta realizar a rotação:

    cot ⁡ 2 θ = c - a b = - 11 - 1 - 5 = 12 5

    ⟹ sin ⁡ 2 θ = 1 1 + cot 2 ⁡ 2 θ = 1 1 + 12 5 2 = 5 13

    Assim,

    a ' + c ' = 1 - 11 a ' - c ' = - 5 5 / 13 ⟹ a ' + c ' = - 10 a ' - c ' = - 13 ∴ a ' = - 23 2   e   c ' = 3 2

    Finalmente, a equação desejada é:

    - 23 2 x 2 + 3 2 y 2 + 69 = 0 ⟹ x 2 6 - y 2 46 = 1

    que representa uma hipérbole.

    Passo 6

  4. Vamos tentar eliminar os termos lineares:

M 3 = a b / 2 d / 2 b / 2 c e / 2 d / 2 e / 2 f = 4 - 2 - 4 5 - 2 1 - 8 5 - 4 5 - 8 5 0

Portanto, podemos montar o sistema

4 h - 2 k - 4 5 = 0 - 2 h + k - 8 5 = 0

Se multiplicarmos para a segunda por 2 e somarmos com a primeira, teremos

- 4 5 - 16 5 = 0

o que é, obviamente, falso. Logo, o sistema é impossível. Portanto, a cônica ou é uma parábola ou o conjunto vazio.

Em seguida, façamos a rotação:

cot ⁡ 2 θ = 4 - 1 4 = 3 4 ⟹ sin ⁡ 2 θ = 1 1 + 3 4 2 = 4 5

Assim,

a ' + c ' = 5 a ' - c ' = - 5 ⟹ a ' = 0   e   c ' = 5

Vimos no item (a) que quando cot ⁡ 2 θ = 3 / 4 , então

cot ⁡ θ = 1 2 ⟹ sin ⁡ θ = 1 1 + cot 2 ⁡ θ = 2 5

Logo,

d ' = d cos ⁡ θ + e sin ⁡ θ = - 8 5 ⋅ 1 5 - 16 5 ⋅ 2 5 = - 40

e ' = - d sin ⁡ θ + e cos ⁡ θ = 8 5 ⋅ 2 5 - 16 5 ⋅ 1 5 = 0

Portanto, a equação é:

5 y 2 - 40 x = 0 ⟹ y 2 = 8 x

que representa a equação de uma parábola.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

em cada parte, use o Teorema 4.10.2 para determinar se T:R 3→R 2 é um operador matricial.a) T x , y = ( 1 , 1 ) .
em cada parte, use o Teorema 4.10.2 para determinar se T:R 2→R 2 é um operador matricial.b) T x , y = ( 2 x + y , x - y ) .
em cada parte, use o Teorema 4.10.2 para determinar se T:R 2→R 2 é um operador matricial.c) T x , y = ( y , y ) .
em cada parte, use o Teorema 4.10.2 para determinar se T:R 2→R 2 é um operador matricial. T x , y = ( 2 x , y ) .
em cada parte, use o Teorema 4.10.2 para determinar se T:R 3→R 2 é um operador matricial.a) T x , y = ( x , x + y + z ) .