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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 26.Exercício - Ex. 13d

Obtenha, em cada caso, uma da superfície gerada pela rotação da curva Γ = Ω 1 ∩ Ω 2 em torno de O x (no item (c), e é o número de Euler).

(d) Ω 1 : y = 0                     Ω 2 : 3 x 2 + 3 z = 1

Passo 1

Devemos obter uma equação da superfície gerada pela rotação da curva em torno de um eixo dado, certo?

Pela observação 26.9, temos que:

f x , y 2 + z 2 = 0

Passo 2

Trazendo para o nosso exercício, temos que:

f x , z = 3 x 2 - 3 z - 1 = 0

                                          ⇒ f x , y 2 + z 2 = 0

                                                            ⇒ 3 x 2 + 3 y 2 + z 2 - 1 = 0

                                                  ⇒ 3 x 2 - 1 = - 3 y 2 + z 2

                                                        ⇒ 1 - 3 x 2 2 = 9 y 2 + z 2

Passo 3

Para facilitar a nossa visualização, vamos fazer uma ilustração da interseção pedida:

Portanto, encontramos que a equação da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo O x é 1 - 3 x 2 2 = 9 ( y 2 + z 2 ) .

Resposta

1 - 3 x 2 2 = 9 ( y 2 + z 2 )

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Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado. x 2 4 + y 2 16 = 1 ; z = 0 ; e i x om a i o r .