Sejam e . Nos casos do exercício anterior, obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos paralelos a com uma extremidade em e outra em . Descreva o lugar geométrico.

(a) e

Beleza, a fórmula ali de cima dá toda uma família de segmentos que cruzam e . O nosso objetivo é saber quais delas são paralelos a :

A única forma de um segmento ser paralelo a é:

Onde é uma constante qualquer! Vamos substituir com as expressões:

E dá pra transformar isso em um sistema de três equações:

Pela primeira equação:

Substituindo isso nas outras duas, o sistema fica assim:

Subtraindo a segunda da primeira:

E então:

E a solução do sistema é:

Então tá, vamos ver como fica o segmento com esses valores:

Então o segmento é:

Bom, então só existe um segmento que passa por e e que é paralelo a .

O enunciado pediu o lugar geométrico formado pelo ponto médio desse segmento: nesse caso o lugar geométrico será um único ponto, já que só temos um único segmento.

Vamos tentar encontrar as coordenadas desse ponto.

Pelo que a gente definiu lá em cima, esse segmento parte de um ponto da reta :

Como :

E se o segmento parte desse ponto, as coordenadas do ponto médio dele são:

Estamos divindindo por dois porque não queremos o comprimento inteiro do segmento, só a metade! Então:

Pronto!