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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 30

Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta r : x = - y = 1 - z , equidista de A = ( 1 ,   0 ,   0 ) e B = ( 0 ,   1 ,   0 ) , e separa A e B .

Passo 1

As equações planares de r são dadas por

r :   x + y = 0 x + z - 1 = 0

Por que encontramos as equações planares de r ? Bem, é que qualquer plano que contém r , como o plano que queremos, pertence ao feixe de planos que contém r . No caso, então, a equação de π pode ser escrita assim

α . x + y + β . x + z - 1 = 0

( α + β ) . x + α . y + β . z - β = 0     ( I )

Passo 2

Temos que a distância entre o plano π :   ( α + β ) . x + α . y + β . z - β = 0 e A = ( 1 ,   0 ,   0 ) e π e B = ( 0 ,   1 ,   0 ) deve ser a mesma, ou seja:

d π ,   A = d ( π ,   B )

α + β . 1 - β α + β 2 + α 2 + β ² = α . 1 - β α + β 2 + α 2 + β ²

Então

α + β - β = | α - β |

α = | α - β |

Daí temos duas soluções:

α = α - β → β ' = 0 ,   α ' ∈ R

- α = α - β → β ' ' = 2 α ' '

Passo 3

Substituindo α ' e β ' em ( I ) :

( α + β ) . x + α . y + β . z - β = 0     ( I )

( α ' + 0 ) . x + α ' . y + 0 . z - 0 = 0

α ' x + α ' . y = 0

Dividindo tudo por α ' :

π ' :   x + y = 0

Substituindo β ' ' = 2 α ' ' em ( I ) :

( α + β ) . x + α . y + β . z - β = 0     ( I )

( α ' ' + 2 α ' ' ) . x + α ' ' . y + 2 α ' ' . z - 2 α ' ' = 0

Dividindo tudo por α ' ' :

π ' ' : 3 x + y + 2 z - 2 = 0

Passo 4

Encontramos dois planos:

π ' :   x + y = 0

π ' ' : 3 x + y + 2 z - 2 = 0

Mas o enunciado fala que o plano π que procuramos separa os pontos A e B . Para verificarmos qual dos planos satisfaz essa condição, vamos substituir o vetor A B → = B - A = ( - 1 ,   1 ,   0 ) em cada um deles:

π ' :   - 1 + 1 = 0

π ' ' :   - 3 + 1 + 0 = - 2 < 0

Como para π ' temos 0 , então os pontos A e B estão contidos no plano, e não separados. Então, a resposta certa é π ' ' : 3 x + y + 2 z - 2 = 0

Resposta

3 x + y + 2 z - 2 = 0

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