Seja e . Nos casos do exercício anterior, obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos paralelos a com uma extremidade em e outra em . Descreva o lugar geométrico

(a)

Se a gente pegar os pontos médios de todos os segmentos que ligam a reta ao plano:

Eles vão formar um plano entre a reta e o plano. Como esse novo plano tem que ser paralelo a , a equação dele é:

Essa equação, conforme o varia, é a equação do feixe de planos paralelos a . Temos que ajustar para encontar nosso plano.

Para encontrar essa constate , a gente viu que, pela equação do enunciado, a reta começa em , então o plano que passa por essa reta seria:

E no plano temos . Como o novo plano deve estar entre esses dois:

Então o novo plano é:

Beleza, esse é um resumo do que foi feito.

E o que muda quando ao invés de pegar todos os segmentos entre e , nós só pegamos os que são paralelos a .

Vamos usar o desenho para entender. Quando estamos desenhando o plano, só vão sobrar os segmentos que são paralelos a :

No desenho de cima, só sobraria o segmento pontilhado em verde. E os pontos médios dela continuam sobre aquele plano verde.

Quando pegarmos todas os segmentos paralelos a reta verde, vamos formar um plano:

E o lugar geométrico formado pelo ponto médio é aquela reta pontilhada em laranja!

Dê mais uma olhada no desenho ali em cima.

Pra encontrar aquela reta pontilhada em laranja, a gente precisa procurar a equação geral daquele plano novo que está em verde.

A gente sabe que esse plano é paralelo à reta , que lá no enunciado tem esse vetor diretor aqui:

E também é paralela ao vetor , que também funciona como um vetor diretor:

E para completar tudo o que precisamos para fechar o plano, precisamos de um ponto qu esteja no plano. Podemos usar o ponto que está na equação vetorial da reta :

Agora é só lembrar do seguinte: se o vetor normal é e o ponto é , a equação geral do plano é:

Para encontrar o vetor normal, vamos fazer o produto vetorial dos dois vetores diretores:

Agora sim, dá pra achar a equação geral do plano:

Usando a fórmula lá de cima:

Então agora, pra terminar a questão, temos que achar a interseção entre esses plano e o que escrevemos lá em cima:

Isso é um sistema de duas equações que a gente pode resolver:

Já que temos três variáveis e duas equações, vai sobrar uma variável. Vamos deixar o como variável livre.

Então primeiro multiplicamos a equação de baixo por e somamos as duas:

E agora multiplicamos a equação de baixo por e somamos:

Ou seja, a interseção entre esses dois planos pode ser parametrizada desse jeito:

E passando isso para uma equação vetorial da nossa reta :

Pronto! Esse é o lugar geométrico que a gente estava procurando. Ele é a reta laranja naquele nosso desenho: