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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.5 - Ex. 75

Mostre que a distância entre os planos paralelos a x + b y + c z + d 1 = 0 e a x + b y + c z + d 2 = 0 é

D = | d 1 - d 2 | a 2 + b ² + c ²

Passo 1

Olá, tudo bem? Pra resolver essa questão precisamos lembrar da fórmula da distância D do ponto P ( x 0 , y 0 , z 0 ) ao plano de equação a x + b y + c z + d = 0 :

D = | a x 0 + b y 0 + c z 0 + d | a 2 + b 2 + c 2  

Passo 2

Sabendo que os planos são paralelos, podemos escolher um ponto arbitrário em um deles e calcular sua distância ao outro plano.

Vou escolher o plano de equação a x + b y + c z + d 2 = 0

Fazendo x = y = 0 podemos determinar a coordenada z :

z = - d 2 / c

E assim determinar o ponto correspondente: P ( 0 , 0 , - d 2 / c )

Passo 3

Sabendo que o ponto é ( 0 , 0 , - d 2 / c ) e a equação do plano é e a x + b y + c z + d 1 = 0 basta substituir os coeficientes na fórmula para D .

D = | a x 0 + b y 0 + c z 0 + d | a 2 + b 2 + c 2  

D = | a . 0 + b . 0 - c . d 2 c + d 1 | a 2 + b 2 + c 2  

D = d 1 - d 2 a 2 + b 2 + c 2

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

D = d 1 - d 2 a 2 + b 2 + c 2

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Mostre que os pontos A = - 2,0 , 1 , B = 0,0 , - 1 , C = 1,1 , 1 , D = - 2 , - 1 , - 2 e E = 1,2 , 2 são vértices de uma pirâmide e calcule seu volume.
Descreva o lugar geométrico dos pontos E 3 que eqüidistam dos planos π 1 : x + y - z = 0 , π 2 : x - y - z - 2 = 0 e π 3 : x + y + z = 1 .
Obtenha uma equação geral do plano que dista 1 de O = 0,0 , 0 e contém a reta perpendicular comum às retas r : X = 2,12 + λ 1,1 , 1 e s : X = - 1,0 , 1 + μ 1,1 , 2 .
Achar a distância da origem a cada um dos planosa) π : 3 x - 4 y + 20 = 0
Achar a distância do ponto P ( 2 ,- 3 ,5 ) ao plano π : 3 x + 2 y + 6 z - 2 = 0