Mostre que a distância entre os planos paralelos a * x + b * y + c * z + d_1 = 0 e a*x + b*y + c*z + d_2 = 0 é

D = |d_1 - d_2| / raiz(a^2 + b^2 + c^2)

Passo 1

Olá, tudo bem? Pra resolver essa questão precisamos lembrar da fórmula da distância D do ponto P ( x 0 , y 0 , z 0 ) ao plano de equação a x + b y + c z + d = 0 :

D = | a x 0 + b y 0 + c z 0 + d | a 2 + b 2 + c 2  

Passo 2

Sabendo que os planos são paralelos, podemos escolher um ponto arbitrário em um deles e calcular sua distância ao outro plano.

Vou escolher o plano de equação a x + b y + c z + d 2 = 0

Fazendo x = y = 0 podemos determinar a coordenada z :

z = - d 2 / c

E assim determinar o ponto correspondente: P ( 0 , 0 , - d 2 / c )

Passo 3

Sabendo que o ponto é ( 0 , 0 , - d 2 / c ) e a equação do plano é e a x + b y + c z + d 1 = 0 basta substituir os coeficientes na fórmula para D .

D = | a x 0 + b y 0 + c z 0 + d | a 2 + b 2 + c 2  

D = | a . 0 + b . 0 - c . d 2 c + d 1 | a 2 + b 2 + c 2  

D = d 1 - d 2 a 2 + b 2 + c 2

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

D = d 1 - d 2 a 2 + b 2 + c 2

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