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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 19.Exercício - Ex. 17e

Obtenha a medida angular em radianos entre a reata r e o plano π .

e) r : x - 2 z = y + 2 z = 1                                           π : 45 7 x + y + 2 z - 10 = 0

Passo 1

Da reta r , temos

x - 2 z = 1

x = 2 z + 1

E

y + 2 z = 1

y = - 2 z + 1

Então

x ,   y ,   z = ( 2 z + 1 ,   - 2 z + 1 ,   z )

x ,   y ,   z = 1 ,   1 ,   0 + λ ( 2 ,   - 2 ,   1 )

Então um vetor diretor de r é ( 2 ,   - 2 ,   1 ) .

Um vetor normal do plano é 45 7 ,   1 ,   2 .

Então:

s e n θ = 2 ,   - 2 ,   1 . 45 7 ,   1 ,   2 45 7 ,   1 ,   2 . | | ( 2 ,   - 2 ,   1 ) | |

s e n θ = 2 45 7 - 2 + 2 45 7 + 1 + 4 . 4 + 4 + 1

s e n θ = 2 45 7 80 7 . 9

s e n θ = 2 45 7 3 80 7

s e n θ = 2 45 3 80

Fatorando as raízes:

s e n θ = 2 . 3 5 3 . 4 5 = 2 4 = 1 2

Então

θ = a r c s e n 1 2 = π 6 r a d

Resposta

e) π 6 r a d

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