Renato inventou o seguinte método para calcular a medida angular θ entre uma reta r e um plano π : escolhe um vetor diretor r → da reta, um vetor n → normal ao plano, determina, em seguida, o vetor u → = ( n → ∧ r → ) ∧ n → , e obtém θ a partir da fórmula cos ⁡ θ = u → . r → u → . r → a) Teste esse método resolvendo novamente alguns itens do exercício 19-17.b) Mostre que o método de Renato não pode ser usado quando r é perpendicular a π .c) Justifique a validade do método quando r e π não são perpendiculares.

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 19.Exercício - Ex. 19

Renato inventou o seguinte método para calcular a medida angular entre uma reta e um plano : escolhe um vetor diretor da reta, um vetor normal ao plano, determina, em seguida, o vetor , e obtém a partir da fórmula

a) Teste esse método resolvendo novamente alguns itens do exercício 19-17.

b) Mostre que o método de Renato não pode ser usado quando é perpendicular a .

c) Justifique a validade do método quando e não são perpendiculares.

Passo 1

a) Vamos testar para a letra B do exercício 17 pode ser?

Então:

Passo 2

b) Se for perpendicular a , seu vetor diretor será paralelo ao vetor normal do plano, então:

Aí não íamos conseguir calcular o ângulo não :(

Passo 3

c) Ao calcular , estamos encontrando um vetor diretor do plano, e aí utilizando

Estamos calculando o cosseno do ângulo entre esse vetor diretor e a reta. Como o vetor diretor é paralelo ao plano, consequentemente estamos achando o ângulo entre o plano e a reta.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Obtenha uma equação vetorial da reta r , concorrente com s : 2 x - y + z + 6 = 0 = x - z e contida em π 1 : 3 x - 2 y - 2 z + 7 = 0 , sabendo que a medida angular ente r e π 2 : x + y = 2 é arccos ⁡ 1

São dados o ponto P = 0,1 , 0 , o plano π : 2 x + y + z - 4 = 0 e a reta s : X = 1 , - 1,1 + λ 2,3 , 1 . Obtenha equações da reta que contém P e é concorrente com s , de tal modo que a medida angular

Obtenha uma equação geral do plano π que contém a reta r : X = 0,4 , 0 + λ 1,4 , - 1 e forma ângulos congruentes com as retas s : X = 1,1 , 0 + λ 1,2 , - 6 e t : X = 3,1 , 1 + λ 3,4 , 4 .

O vértice de uma pirâmide regular é P = 2 , 2,0 e sua base é um quadrado A B C D contido no plano π : x - z = 0 . Sendo A = 0,2 , 0 , determine os outros três vértices.

Determinar o ângulo formado pela retar : {[[y = - 2 x],[z = 2 x + 1]]) E o plano pi : x - y + 5 = 0 .