Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 29
Obtenha uma equação geral do plano que dista de e contém a reta perpendicular comum às retas e .
Passo 1
O primeiro passo aqui é encontrar essa reta que é perpendicular à e ao mesmo tempo.
A primeira condição pra isso é a seguinte: o vetor diretor da nova reta tem que ser perpendicular aos vetores diretores de e .
Isso quer dizer que, se o vetor diretor da nossa reta é , então:
Se :
Subtraindo a segunda equação da primeira:
E substituindo isso em qualquer uma das duas:
Então nosso vetor é:
Ok, mas isso ainda não define a reta totalmente.
Passo 2
Por enquanto a equação vetorial da nossa reta é essa aqui:
Falta definir esse ponto .
Se a nossa reta é perpendicular a e , então ela precisa tocar em cada uma dessas retas em pelo menos um ponto.
As formas paramétricas das outras retas, que foram dadas no enunciado, são:
Para saber em qual ponto dessas retas a nossa reta encosta, temos que descobrir quais segmentos são paralelos ao vetor diretor da nossa reta:
Igualando isso ao vetor diretor da nossa reta , ficamos com um sistema:
Pela última equação:
E somando a segunda e a primeira:
Substituindo com o resultado ali de cima, , ficamos com:
E então:
Passo 3
Ok, e pra que serve esse resultado? Agora a gente pode saber pelo menos um ponto que pertence à reta . E assim dá pra completar a equação:
Vimos que a reta toca a reta quando , então:
Então a nossa reta é:
O plano que a gente está procurando sempre contém essa reta.
Vamos procurar a forma geral do feixe de planos que contém essa reta . Pra isso o primeiro passo é encontrar as equações planares da reta .
Encontrar as equações planares significa encontrar dois planos cuja interseção dê a nossa reta.
A primeira equação é fácil, já está pronta ali na nossa parametrização:
E a segunda dá pra encontrar isolando nas duas primeiras e igualando:
Lembrando que se as equações planares da reta são e , a equação do feixe de planos é:
Então a equação do nosso feixe de planos é:
Beleza, vamos em frente.
Passo 4
Agora só sobrou uma condição: o plano tem que estar a uma distância da origem.
A fórmula para a distância entre um ponto e o plano é:
Onde é um ponto qualquer que pertence ao plano, e , nesse caso, vai ser a origem:
E se pegarmos o ponto da nossa reta para calcular :
E qual é a reta normal ao plano? Bom, se um plano tem essa equação aqui:
Então o vetor normal é . No nosso caso a equação é:
Então o vetor normal é:
Então:
Ou seja, a distância é:
Passo 5
Queremos , então:
Elevando os dois lados ao quadrado:
E as duas soluções para essa equação são:
Substituindo a primeira na nossa equação do plano:
Dividindo tudo por :
Essa é a nossa primeira resposta! E na outra opção:
Então:
Dividindo tudo por mais uma vez, e multiplicando por :
Ou seja, os planos que atendem a exigência do enunciado são:
Resolvido!
Resposta
As soluções são os planos e .