Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 33
Descreva o lugar geométrico dos pontos que eqüidistam dos planos , e .
Passo 1
Vamos começar lembrando da fórmula para a distância entre um ponto e um plano :
Onde é um ponto qualquer que pertence ao plano e é o vetor normal ao plano.
Vamos começar procurando esse vetor em cada um dos pontos do enunciado. Lembrando que se um plano tem equação geral nessa forma:
Então o vetor normal ao plano é:
Então, para os nossos planos:
E a norma desses três vetores são iguais! Olha só:
Beleza, vamos em frente.
Passo 2
O próximo passo é encontrar os pontos , e que pertencem a cada um dos planos:
Qualquer ponto que pertença ao plano serve! Aqui o melhor a fazer é chutar um ponto que satisfaça a equação do plano, usando o máximo possível de zeros, para facilitar nossa conta:
Então como é um ponto qualquer, os segmentos que aprecem na fórmula são:
Olhando mais uma vez para a fórmula:
Aparece um produto escalar entre o segmento e o vetor normal, então vamos fazer:
Então se as três distâncias são iguais, ficamos com essa equação aqui:
Substituindo tudo:
Multiplicando tudo por :
Beleza, agora temos que resolver isso.
Passo 3
O maior problema aqui é o módulo:
Lembrando que a definição de módulo:
Então a gente tem que considerar todas as possibilidades aqui.
Passo 4
Começamos com o caso em que nenhuma equação fica com sinal negativo:
Pegando a primeira e a terceira equações:
Subtraindo e dos dois lados;
Agora pegando a primeira e a segunda:
Substituindo e subtraindo dos dois lados:
E o fica livre! Isso quer dizer que nossa solução é:
Isso equivale a uma reta, que podemos escrever como:
Passo 5
A outra possibilidade é que só a segunda equação fica com sinal negativo.
Vamos fazer quase exatamente a mesma coisa que antes.
Pegando a segunda e a terceira equações:
Subtraindo e dos dois lados:
E agora pegando a primeira e a terceira:
Subtraindo e dos dois lados:
E a variável fica livre! Então o nosso resultado é:
Isso equivale a uma reta, que podemos escrever como:
Passo 6
A terceira possibilidade é que só a terceira equação tenha sinal negativo:
Invertendo o sinal de todas, ficamos com:
Pegando a primeira e a segunda:
Subtraindo e somando dos dois lados:
Agora pegando a primeira e a terceira:
Substituindo :
E a variável fica livre. Então:
Isso equivale a uma reta, que podemos escrever como:
Passo 7
E a última possibilidade é que só a primeira equação fique com sinal negativo:
Pegando a primeira e a terceira equações:
E agora pegando a primeira e a segunda:
Agora vamos supôr que . Nesse caso teríamos:
Isso equivale a uma reta, que podemos escrever como:
Ou seja, a nossa solução para o problema é a união dessas quatro retas que nós achamos!
Resposta
A solução é a união das retas , , e .