Sendo r : X = 1,0 , 2 + λ 0,0 , 2 , s : X = - 1,0 , 1 + λ 1,1 , 0 e t : X = 0,0 , 0 + λ 1 , - 1,0 , calcule a distância entre r e a reta perpendicular comum a s e t .

A distância entre as retas é 10 / 2 .

Enunciado

Se a reta é pernpendicular a e , então o seu vetor diretor também tem que ser perpendicular ao das outras duas.

O primeiro passo para encontrar esse vetor é fazer o produto vetorial dos vetores diretores e :

Então a nossa reta tem essa forma:

E falta encontrar o ponto .

Se a nossa reta vai passar tanto por quanto por , então o segmento que vai de até :

Tem que ser paralelo ao vetor diretor da nossa reta! Ou seja:

Então ficamos com um sistema:

Podemos ignorar a última equação. Pelas duas primeiras:

Pela segunda equação:

Substituindo na primeira:

Então podemos usar isso para encontrar algum ponto, de qualquer uma das duas retas e , que está contido na reta .

Pegando na reta , por exemplo:

Beleza, então esse vai ser o ponto da nossa reta , e ficamos com:

Ok, agora o problema que sobrou é: calcular a distância entre essas duas retas:

Aqui temos que lembrar da fórmula:

Mas nesse caso, perceba que as duas retas são paralelas! O vetor diretor é simplesmente o negativo do vetor diretor !

Então essa fórmula de cima não vai servir! Quando lidamos com retas paralelas, temos que escolher um ponto qualuqer de uma das retas, por exemplo:

E então calculamos a distância desse ponto até a reta :

Vamos encontrar esses dois vetores envolvidos na conta:

Então começamos calculando o produto misto:

E a norma desse vetor é

E a norma do vetor é:

Então a distância é:

Resolvido!

A distância entre as retas é .