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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 31

Obtenha uma equação geral do plano que contém os pontos A = ( 1 ,   1 ,   1 ) e B = ( 0 ,   2 ,   1 ) e equidista dos pontos C = ( 2 ,   3 ,   0 ) e D = ( 0 ,   1 ,   2 ) .

Passo 1

Se esse plano π contém os pontos A e B , ele contém a reta r que passa por A = ( 1 ,   1 ,   1 ) e tem vetor diretor A B → = B - A = ( - 1 ,   1 ,   0 ) :

r : X = 1 ,   1 ,   1 + t . ( - 1 ,   1 ,   0 )

As equações paramétricas de r são

r :   x = 1 - t y = 1 + t z = 1

Então as suas equações planares são dadas por

r : x = 1 - ( y - 1 ) z = 1

r : x + y - 2 = 0 z - 1 = 0

Por que encontramos as equações planares de r ? Bem, é que qualquer plano que contém r , como o plano que queremos, pertence ao feixe de planos que contém r . No caso, então, a equação de π pode ser escrita assim

α . x + y - 2 + β . z - 1 = 0

α . x + α . y + β . z - 2 α - β = 0     ( I )

Passo 2

Temos que a distância entre o plano π :   α . x + α . y + β . z - 2 α - β = 0 e C = ( 2 ,   3 ,   0 ) e π e D = ( 0 ,   1 ,   2 ) deve ser a mesma, ou seja:

d π ,   C = d ( π ,   D )

2 α + 3 α - 2 α - β α 2 + α 2 + β ² = 1 α + 2 β - 2 α - β α 2 + α 2 + β ²

Então

3 α - β = β - α

Daí temos duas soluções:

3 α ' - β ' = β ' - α '

4 α ' = 2 β '

β ' = 2 α '

Ou:

- 3 α ' ' + β ' ' = β ' ' - α ' '

α ' ' = 0 ,   β ' ' ∈ R

Passo 3

Substituindo β ' = 2 α ' em ( I ) :

α . x + α . y + β . z - 2 α - β = 0     ( I )

α ' . x + α ' . y + 2 α ' . z - 2 α ' - 2 α ' = 0

Dividindo tudo por α ' :

π ' :   x + y + 2 z - 4 = 0

Substituindo α ' ' = 0 em ( I ) :

α . x + α . y + β . z - 2 α - β = 0     ( I )

0 . x + 0 . y + β ' ' . z - 2 . 0 - β ' ' = 0

Dividindo tudo por β ' ' :

π ' ' : z - 1 = 0

Resposta

π ' :   x + y + 2 z - 4 = 0

π ' ' : z - 1 = 0

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