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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 28

Obtenha, em cada caso, uma equação geral do plano π que contém r : X = 1 ,   0 ,   1 + λ ( 1 ,   1 ,   - 1 ) e dista d de P = ( 1 ,   1 ,   - 1 ) . Interprete os resultados de (a) e (b) usando o exercício resolvido anterior.

a) d = 2

b) d = 2

c) d = 1 2

Passo 1

Vamos começar encontrando equações planares para r . Suas equações paramétricas são dadas por

r :   x = 1 + λ y = λ z = 1 - λ

Bom, temos que y = λ , então podemos escrever:

r :   x = 1 + y → x - y - 1 = 0 z = 1 - y → z + y - 1 = 0

E essas são as equações planares de r :)

Passo 2

r :   x - y - 1 = 0 z + y - 1 = 0

Por que encontramos as equações planares de r ? Bem, é que qualquer plano que contém r , como o plano que queremos, pertence ao feixe de planos que contém r . No caso, então, a equação de π pode ser escrita assim

α . x - y - 1 + β . z + y - 1 = 0

α . x + - α + β . y + β . z - α - β = 0     ( I )

Passo 3

Temos que a distância entre o ponto P = ( 1 ,   1 ,   - 1 ) e o plano π :   α . x + - α + β . y + β . z - α - β = 0 é

d P ,   π = α . 1 + - α + β . 1 + β . - 1 - α - β α 2 + - α + β 2 + β ²

d P ,   π = α - α + β - β - α - β α 2 + β 2 - 2 α β + β ² + β ²

d P ,   π = - α - β α 2 + 3 β 2 - 2 α β

Por propriedade de módulo:

d P ,   π = α + β α 2 + 3 β 2 - 2 α β

Passo 4

a) Aqui queremos que d P ,   π = 2 , então:

α + β α 2 + 3 β 2 - 2 α β = 2

α + β = 2 α 2 + 6 β 2 - 4 α β

Elevando os dois lados ao quadrado:

α + β 2 = 2 α 2 + 6 β 2 - 4 α β

Daí, temos que ou α ' = β ou α ' ' = 5 β

Substituindo α ' em ( I ) , temos

α . x + - α + β . y + β . z - α - β = 0     ( I )

π ' : β . x + - β + β . y + β . z - β - β = 0    

π ' : β . x + β . z - 2 β = 0

Dividindo tudo por β :

π ' : x + z - 2 = 0

Substituindo α ' ' em ( I ) :

π ' ' :   5 β . x + - 5 β + β . y + β . z - 5 β - β = 0

π ' ' :   5 β . x + - 4 β . y + β . z - 6 β = 0

Dividindo por β :

π ' ' : 5 x - 4 y + z - 6 = 0

Passo 5

b) Aqui queremos que d P ,   π = 2 , então:

α + β α 2 + 3 β 2 - 2 α β = 2

α + β = 2 . α 2 + 3 β 2 - 2 α β

Elevando os dois lados ao quadrado:

α + β 2 = 4 α 2 + 12 β 2 - 8 α β

Opa, não existem α e β reais que satisfazem a essa equação D:

Isso quer dizer que o nosso plano π não existe nesse caso ta ok?

Passo 6

c) Aqui queremos que d P ,   π = 1 2 , então:

α + β α 2 + 3 β 2 - 2 α β = 1 2

α + β = 1 2 α 2 + 3 β 2 - 2 α β

Elevando os dois lados ao quadrado:

α + β 2 = α 2 + 3 β 2 - 2 α β 2

Daí, temos que ou α ' = - 3 + 10 β ou α ' ' = - 3 - 10 β

Substituindo α ' em ( I ) , temos

α . x + - α + β . y + β . z - α - β = 0     ( I )

π ' : - 3 + 10 β . x + - - 3 + 10 β + β . y + β . z - - 3 + 10 β - β = 0    

π ' : - 3 + 10 β . x + 3 - 10 β + β . y + β . z - - 3 + 10 β - β = 0

Dividindo tudo por β :

π ' : - 3 + 10 . x + 3 - 10 . y + z + 2 - 10 = 0

Substituindo α ' ' em ( I ) :

π ' ' : - 3 - 10 . x + 3 + 10 . y + z + 2 + 10 = 0

Resposta

a) π ' : x + z - 2 = 0

π ' ' : 5 x - 4 y + z - 6 = 0

b) Não existe

c) π ' : - 3 + 10 . x + 3 - 10 . y + z + 2 - 10 = 0

π ' ' : - 3 - 10 . x + 3 + 10 . y + z + 2 + 10 = 0

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