Mostre que os pontos , , , e são vértices de uma pirâmide e calcule seu volume.

Beleza, então agora vamos encontrar a equação do plano formado por esses três vetores.

Pra isso primeiro precisamos definir um ponto qualquer , e então calcular esse produto misto:

Onde os pontos foram calculados assim!

Perceba que nem precisamos usar o ponto na conta! Já provamos que ele também pertence ao plano que passa por , e .

Agora vamos resolver aquele determinante:

E agora é só provar que o ponto não percente a esse plano. O ponto é:

Substituindo as coordenadas na equação do nosso plano:

O resultado não foi zero, e portanto não está no plano.

Ok, então até aqui já provamos que , , e pertencem a um plano em que não está!

Para garantir que isso forma uma pirâmide, ainda faltaria provar que os vetores entre , , e não são paralelos! Mas isso vai aparecer naturalmente quando a gente for calcular o volume.

Vamos fazer um desenho muito simplificado da nossa pirâmide:

Antes de calcular o volume, precisamos descobrir se a base realmente tem essa forma no desenho, ou se a ordem dos pontos é diferente.

Pra isso vamos calcular a distância do ponto até os outros três:

O ponto mais distante de é , então podemos supor que e formam uma diagonal!

Com essa nova informação, vamos refazer nosso desenho:

Agora como a gente pode calcular o volume dessa pirâmide? É só dividir em dois tetraedros!

O primeiro tetraedro é formado pelos vetores , e :

Vamos desenhar para entender melhor. Agora estamos calculando o volume da metade esquerda:

Agora é só usar a fórmula do volume do tetraedro:

E a outra metade é formada pelos seguintes vetores:

Então:

Somando essas duas partes:

Ou seja, os pontos formam uma pirâmide de volume igual a .