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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 54

Obtenha uma equação geral do plano paralelo ao plano π : x - 2 y - z = 0 , que determina na superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 y - 2 z = 0 uma circunferência de raio 3 / 2 .

Passo 1

Bom, se queremos determinar planos paralelos a π : x - 2 y - z = 0 , sabemos que o plano que buscamos tem a seguinte forma:

x - 2 y - z + d = 0

Nosso trabalho será descobrir este d . Mas como faremos isto?

Bom, nós temos a equação geral da superfície (centro e raio indiretamente). Temos também o raio da circunferência. E isto é relacionado de alguma forma com o plano?

E a resposta é sim! Basta lembrar da seguinte relação:

ρ 2 = σ 2 + d C , π 2

Esta será a nossa chave para relacionar com o plano e descobrir o valor de d .

Passo 2

No passo anterior, dissemos que temos o centro e o raio indiretamente. Dissemos isto devido ao formato da equação da superfície esférica. Precisamos transformar ela da equação geral para a reduzida para verificar o raio e centro facilmente.

Portanto, fazendo esta mudança, temos:

x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 y - 2 z = 0

x 2 + 2 x + y 2 + 2 y + z 2 - 2 z = 0

x 2 + 2 x + 1 - 1 + y 2 + 2 y + 1 - 1 + z 2 - 2 z + 1 - 1 = 0

x + 1 2 + y + 1 2 + z - 1 2 = 3

Nosso centro será C = - 1 , - 1,1 e raio ρ = 3 .

Passo 3

Após descobrirmos o centro e o raio da superfície, vamos calcular a distância deste centro ao plano. Portanto:

ρ 2 = σ 2 + d C , π 2

3 = 3 2 + d C , π 2

d C , π 2 = 3 2

d C , π = 3 2

Só que a distância do centro até o plano também é calculada por:

d C , π = - 1 - 2 ⋅ - 1 - 1 + d 1 2 + - 2 2 + - 1 2 = d 6

Igualando ambas as expressões, temos:

d 6 = 3 2

d = 3

d = ± 3

Portanto, temos dois planos que satisfazem a relação dada na questão:

π 1 : x - 2 y - z + 3 = 0

π 2 : x - 2 y - z - 3 = 0

Resposta

π 1 : x - 2 y - z + 3 = 0

π 2 : x - 2 y - z - 3 = 0

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Determinar uma equação da superfície esférica de centro C ( 2 ,- 3 ,4 ) e:tangente ao plano x O y .
Determinar uma equação das superfícies esféricas nas condições dadas.O centro C ( - 2 , 3,4 ) e tangente ao eixo O z .
Determinar uma equação da superfície esférica de centro C ( 2 ,- 3 ,4 ) e:tangente ao plano x O z .
Obter uma equação geral do plano tangente à superfície esférica E no pontoP c) E : x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 2 y - 6 z - 11 = 0 ; P ( 2 , - 5,6 )
Nos casos em que a equação dada descreve uma superfície esférica, determine o centro e o raio. x - 2 2 + y + 6 2 + z 2 = 25 . x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 6 y + 2 z - 2 = 0 . x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 4 y +