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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 9.Problemas propostos - Ex. 3c

Obter uma equação geral do plano tangente à superfície esférica E no ponto   P

c) E : x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 2 y - 6 z - 11 = 0 ; P ( 2 , - 5,6 )

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Queremos a equação do plano tangente, certo? Vou chamar esse plano de π . A equação geral do plano é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Para equacionar esse plano precisamos de um vetor ( a , b , c ) que seja normal e de um ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) que pertença a ele também. O ponto já temos e é o P ( 2 , - 5,6 ) . E o vetor normal?

Bom, vamos pensar um pouquinho. A partir da equação da superfície esférica a gente já sabe como encontrar o centro, beleza? Podemos construir então um vetor que sai do centro e vá até o ponto P , pois assim ele vai estar na direção radial da superfície (já que o plano é tangente), e consequentemente normal ao plano. Então é daqui que vamos achar o vetor normal: a partir do centro da superfície E .

Então a ideia aqui é a seguinte: a partir da equação para E achar seu centro, depois construir o vetor normal com o ponto dado. Daí com o vetor normal e o ponto é só substituir na equação geral do plano, fazer as multiplicações, reorganizar os termos, e correr pro abraço!

Beleza até aqui?

Vamos começar?

Passo 2

Primeiro vamos resgatar a equação da superfície E :

x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 2 y - 6 z - 11 = 0

Ela é do tipo geral, e não conseguimos identificar (AINDA) o centro. Vamos começar completando os quadrados:

x 2 - 4 x + … + y 2 + 2 y + … + z 2 - 6 z + …   - 11 = 0

A ideia aqui é bem simples: para saber qual número completa aquele é só pegar o termo que multiplica a variável linear (tipo o - 4 do - 4 x ), dividir por dois e elevar ao quadrado! E ao adicionar esse valor dentro dos parênteses, precisamos também adicionar lá do outro lado da equação, pra gente manter a igualdade ta!

Então pro termo com x , dividindo o - 4 por 2 fica - 2 e elevando ao quadrado fica - 2 2 = 4 . Assim vamos adicionar 4 no primeiro parênteses e no lado direito da equação. Fazendo isso também pro y e pro z , vamos ter o seguinte:

x 2 - 4 x + 4 + y 2 + 2 y + 1 + z 2 - 6 z + 9   - 11 = 4 + 1 + 9

E agora pra formar o quadrado perfeito, é só a gente pegar a raiz do primeiro termo, do terceiro termo e usar o sinal do termo central, elevar tudo ao quadrado e foi! Pro x temos:

  • Raiz do primeiro termo: x 2 = x , raiz do terceiro termo: 4 = 2 , sinal do termo do meio: - , agora juntar tudo num parênteses elevado ao quadrado: x - 2 2 .

Sacou? Agora é só fazer a mesma coisa pros outros dois termos! E os números que sobram? Bom, esses a gente pode jogar pro lado direito da equação e juntar todos em um só. Olha só como fica:

x - 2 2 + y + 1 2 + z - 3 2 = 14 + 11

x - 2 2 + y + 1 2 + z - 3 2 = 25

Assim temos a equação reduzida da esfera, que de forma geral é:

x - h 2 + y - k 2 + z - l 2 = r 2

Onde o centro é C ( h , k , l ) e o raio ao quadrado r 2 .   Comparando com a nossa equação temos o centro C ( 2 , - 1,3 ) .

Passo 3

Pronto! Agora vamos construir o vetor normal ao plano. Esse vetor vai sair do centro C ( 2 , - 1,3 ) e ir até o ponto P ( 2 , - 5,6 ) dado. Assim o vetor é:

v → = P - C = 2 , - 5,6 - 2 , - 1,3 = ( 0 , - 4,3 )

Passo 4

Resumindo, o ponto P e o vetor v → são:

x 0 , y 0 , z 0 = P ( 2 , - 5,6 )

a , b , c = v → = ( 0 , - 4,3 )

Agora vamos resgatar a equação geral do plano:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Substituindo temos:

0 x - 2 - 4 y + 5 + 3 z - 6 =

- 4 y - 20 + 3 z - 18 = 0

- 4 y + 3 z - 38 = 0 ( × - 1 )

4 y - 3 z + 38 = 0

Pronto! Resolvido! A equação do plano tangente é 4 y - 3 z + 38 = 0 .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

4 y - 3 z + 38 = 0

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Ache uma equação da superfície esférica que tangencia o plano x + y + 2 z - 4 = 0 no ponto A = ( 2,0 , 1 ) e cujo centro pertence ao plano x + y + z + 1 = 0
Ache a superfície esférica tangente aos planos 2 x + 2 y + z - 6 = 0 e 2 x + 2 y + z + 12 = 0 , sabendo-se que P = ( 1,2 , 0 ) é um ponto da superfície esférica.
Determine uma equação da superfície esférica de centro C = ( 3 , - 2,1 ) tangente ao plano 2 x - y - 2 z - 15 = 0 . Determine também as coordenadas do ponto de tangência.
Determine os planos tangentes à superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 = 1 , que passam pela reta x - y + 2 z - 3 = 0 x + 2 z - 1 = 0
Ache a superfície esférica tangente aos planos paralelos x - 2 y + 2 z + 1 = 0 e x - 2 y + 2 z - 8 = 0 sendo ( - 3,0 , 1 ) um dos pontos de tangência.